Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocborel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocborel 45773
Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iocborel.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
iocborel.t 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
iocborel.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
iocborel (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem iocborel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocborel.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2 iocborel.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31, 2iooiinioc 44970 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐢))
43eqcomd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) = ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))))
5 iocborel.t . . . . . . 7 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
6 iocborel.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
75, 6bor1sal 45772 . . . . . 6 𝐡 ∈ SAlg
87a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
9 nnct 13986 . . . . . 6 β„• β‰Ό Ο‰
109a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
11 nnn0 44789 . . . . . 6 β„• β‰  βˆ…
1211a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰  βˆ…)
135, 6iooborel 45768 . . . . . 6 (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
158, 10, 12, 14saliincl 45744 . . . 4 (⊀ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
1615mptru 1540 . . 3 ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1716a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
184, 17eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4326  βˆ© ciin 5001   class class class wbr 5152  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7876   β‰Ό cdom 8968  β„cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149  β„*cxr 11285   / cdiv 11909  β„•cn 12250  (,)cioo 13364  (,]cioc 13365  topGenctg 17426  SAlgcsalg 45725  SalGencsalgen 45729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-fl 13797  df-topgen 17432  df-top 22816  df-bases 22869  df-salg 45726  df-salgen 45730
This theorem is referenced by:  incsmflem  46158  decsmflem  46183  smfsuplem2  46229
  Copyright terms: Public domain W3C validator