Theorem iocborel 46799

Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocborel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
iocborel.t	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iocborel.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iocborel	⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem iocborel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocborel.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocborel.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iooiinioc 46001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐶))
4	3	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))))
5		iocborel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		iocborel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	bor1sal 46798	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ SAlg
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ SAlg)
9		nnct 13932	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≼ ω)
11		nnn0 45822	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≠ ∅)
13	5, 6	iooborel 46794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
15	8, 10, 12, 14	saliincl 46770	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
16	15	mptru 1549	. . 3 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ∩ ciin 4935   class class class wbr 5086  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≼ cdom 8882  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030  ℝ^*cxr 11167   / cdiv 11796  ℕcn 12163  (,)cioo 13287  (,]cioc 13288  topGenctg 17389  SAlgcsalg 46751  SalGencsalgen 46755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-fl 13740  df-topgen 17395  df-top 22868  df-bases 22920  df-salg 46752  df-salgen 46756

This theorem is referenced by:  incsmflem  47184  decsmflem  47209  smfsuplem2  47255