Theorem iocborel 46385

Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocborel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
iocborel.t	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iocborel.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iocborel	⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem iocborel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocborel.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocborel.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iooiinioc 45585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐶))
4	3	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))))
5		iocborel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		iocborel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	bor1sal 46384	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ SAlg
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ SAlg)
9		nnct 13999	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≼ ω)
11		nnn0 45405	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≠ ∅)
13	5, 6	iooborel 46380	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
15	8, 10, 12, 14	saliincl 46356	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
16	15	mptru 1547	. . 3 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861   ≼ cdom 8957  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   / cdiv 11894  ℕcn 12240  (,)cioo 13362  (,]cioc 13363  topGenctg 17451  SAlgcsalg 46337  SalGencsalgen 46341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-fl 13809  df-topgen 17457  df-top 22832  df-bases 22884  df-salg 46338  df-salgen 46342

This theorem is referenced by:  incsmflem  46770  decsmflem  46795  smfsuplem2  46841