Theorem iocborel 46354

Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocborel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
iocborel.t	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iocborel.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iocborel	⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem iocborel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocborel.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocborel.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iooiinioc 45554	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐶))
4	3	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))))
5		iocborel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		iocborel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	bor1sal 46353	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ SAlg
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ SAlg)
9		nnct 13946	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≼ ω)
11		nnn0 45374	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≠ ∅)
13	5, 6	iooborel 46349	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
15	8, 10, 12, 14	saliincl 46325	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
16	15	mptru 1547	. . 3 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  ∩ ciin 4956   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842   ≼ cdom 8916  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   / cdiv 11835  ℕcn 12186  (,)cioo 13306  (,]cioc 13307  topGenctg 17400  SAlgcsalg 46306  SalGencsalgen 46310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-fl 13754  df-topgen 17406  df-top 22781  df-bases 22833  df-salg 46307  df-salgen 46311

This theorem is referenced by:  incsmflem  46739  decsmflem  46764  smfsuplem2  46810