Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocborel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocborel 45641
Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iocborel.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
iocborel.t 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
iocborel.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
iocborel (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem iocborel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocborel.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2 iocborel.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31, 2iooiinioc 44838 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐢))
43eqcomd 2732 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) = ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))))
5 iocborel.t . . . . . . 7 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
6 iocborel.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
75, 6bor1sal 45640 . . . . . 6 𝐡 ∈ SAlg
87a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
9 nnct 13952 . . . . . 6 β„• β‰Ό Ο‰
109a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
11 nnn0 44657 . . . . . 6 β„• β‰  βˆ…
1211a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰  βˆ…)
135, 6iooborel 45636 . . . . . 6 (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
158, 10, 12, 14saliincl 45612 . . . 4 (⊀ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
1615mptru 1540 . . 3 ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1716a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
184, 17eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317  βˆ© ciin 4991   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852   β‰Ό cdom 8939  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   / cdiv 11875  β„•cn 12216  (,)cioo 13330  (,]cioc 13331  topGenctg 17392  SAlgcsalg 45593  SalGencsalgen 45597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-fl 13763  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-salg 45594  df-salgen 45598
This theorem is referenced by:  incsmflem  46026  decsmflem  46051  smfsuplem2  46097
  Copyright terms: Public domain W3C validator