Theorem iocborel 47098

Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iocborel.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
iocborel.t	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iocborel.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iocborel	⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem iocborel

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocborel.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		iocborel.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3	1, 2	iooiinioc 46300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐶))
4	3	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))))
5		iocborel.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
6		iocborel.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	bor1sal 47097	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ SAlg
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ SAlg)
9		nnct 14024	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≼ ω)
11		nnn0 46121	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℕ ≠ ∅)
13	5, 6	iooborel 47093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
15	8, 10, 12, 14	saliincl 47069	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
16	15	mptru 1576	. . 3 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐶 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,]𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  ∩ ciin 4956   class class class wbr 5108  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≼ cdom 8939  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  ℝ^*cxr 11248   / cdiv 11877  ℕcn 12239  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  topGenctg 17496  SAlgcsalg 47050  SalGencsalgen 47054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-fl 13832  df-topgen 17502  df-top 23062  df-bases 23114  df-salg 47051  df-salgen 47055

This theorem is used by:  incsmflem  47483  decsmflem  47508  smfsuplem2  47554