Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocborel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocborel 44239
Description: A left-open, right-closed interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iocborel.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
iocborel.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
iocborel.t 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
iocborel.b 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
iocborel (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem iocborel
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocborel.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2 iocborel.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
31, 2iooiinioc 43438 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐢))
43eqcomd 2742 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) = ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))))
5 iocborel.t . . . . . . 7 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
6 iocborel.b . . . . . . 7 𝐡 = (SalGenβ€˜π½)
75, 6bor1sal 44238 . . . . . 6 𝐡 ∈ SAlg
87a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐡 ∈ SAlg)
9 nnct 13802 . . . . . 6 β„• β‰Ό Ο‰
109a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
11 nnn0 43260 . . . . . 6 β„• β‰  βˆ…
1211a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„• β‰  βˆ…)
135, 6iooborel 44234 . . . . . 6 (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1413a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
158, 10, 12, 14saliincl 44210 . . . 4 (⊀ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
1615mptru 1547 . . 3 ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡
1716a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (𝐴(,)(𝐢 + (1 / 𝑛))) ∈ 𝐡)
184, 17eqeltrd 2837 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐢) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4269  βˆ© ciin 4942   class class class wbr 5092  ran crn 5621  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Ο‰com 7780   β‰Ό cdom 8802  β„cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975  β„*cxr 11109   / cdiv 11733  β„•cn 12074  (,)cioo 13180  (,]cioc 13181  topGenctg 17245  SAlgcsalg 44193  SalGencsalgen 44197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-card 9796  df-acn 9799  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-q 12790  df-rp 12832  df-ioo 13184  df-ioc 13185  df-fl 13613  df-topgen 17251  df-top 22149  df-bases 22202  df-salg 44194  df-salgen 44198
This theorem is referenced by:  incsmflem  44624  decsmflem  44649  smfsuplem2  44695
  Copyright terms: Public domain W3C validator