Theorem saliinclf 46777

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliinclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliinclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliinclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliinclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliinclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliinclf.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliinclf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliinclf	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliinclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliinclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		incom 4139	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸)
3		saliinclf.7	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
4		elssuni 4870	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6		dfss2 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
7	5, 6	sylib 219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
8		dfin4 4207	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
10	2, 7, 9	3eqtr3a 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
11	1, 10	iineq2d 4946	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
12		saliinclf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
13		saliinclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
14		saliinclf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
15	14	nfuni 4846	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑆
16	13, 15	iindif2f 45615	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
18	11, 17	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
19		saliinclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
20		saliinclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
21		saldifcl 46770	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
22	19, 3, 21	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
23	1, 14, 13, 19, 20, 22	saliunclf 46773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
24		saldifcl 46770	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
25	19, 23, 24	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
26	18, 25	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4922  ∩ ciin 4923   class class class wbr 5073  ωcom 7807   ≼ cdom 8882  SAlgcsalg 46759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-card 9855  df-acn 9858  df-salg 46760

This theorem is referenced by:  saliincl  46778  smfsupdmmbllem  47295  smfinfdmmbllem  47299