Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saliinclf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saliinclf 44720
Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
saliinclf.1 𝑘𝜑
saliinclf.2 𝑘𝑆
saliinclf.3 𝑘𝐾
saliinclf.4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
saliinclf.5 (𝜑𝐾 ≼ ω)
saliinclf.6 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
saliinclf.7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
saliinclf (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)

Proof of Theorem saliinclf
StepHypRef Expression
1 saliinclf.1 . . . 4 𝑘𝜑
2 incom 4181 . . . . 5 (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸)
3 saliinclf.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
4 elssuni 4918 . . . . . . 7 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
53, 4syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 𝑆)
6 df-ss 3945 . . . . . 6 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
75, 6sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
8 dfin4 4247 . . . . . 6 ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸))
98a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
102, 7, 93eqtr3a 2795 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
111, 10iineq2d 4997 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
12 saliinclf.6 . . . 4 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
13 saliinclf.3 . . . . 5 𝑘𝐾
14 saliinclf.2 . . . . . 6 𝑘𝑆
1514nfuni 4892 . . . . 5 𝑘 𝑆
1613, 15iindif2f 43530 . . . 4 (𝐾 ≠ ∅ → 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1712, 16syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1811, 17eqtrd 2771 . 2 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
19 saliinclf.4 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
20 saliinclf.5 . . . 4 (𝜑𝐾 ≼ ω)
21 saldifcl 44713 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2219, 3, 21syl2an2r 683 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
231, 14, 13, 19, 20, 22saliunclf 44716 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
24 saldifcl 44713 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2519, 23, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2618, 25eqeltrd 2832 1 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2882  wne 2939  cdif 3925  cin 3927  wss 3928  c0 4302   cuni 4885   ciun 4974   ciin 4975   class class class wbr 5125  ωcom 7822  cdom 8903  SAlgcsalg 44702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-card 9899  df-acn 9902  df-salg 44703
This theorem is referenced by:  saliincl  44721  smfsupdmmbllem  45238  smfinfdmmbllem  45242
  Copyright terms: Public domain W3C validator