Theorem saliinclf 46317

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliinclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliinclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliinclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliinclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliinclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliinclf.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliinclf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliinclf	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliinclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliinclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		incom 4160	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸)
3		saliinclf.7	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
4		elssuni 4888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6		dfss2 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
8		dfin4 4229	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
10	2, 7, 9	3eqtr3a 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
11	1, 10	iineq2d 4965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
12		saliinclf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
13		saliinclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
14		saliinclf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
15	14	nfuni 4865	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑆
16	13, 15	iindif2f 45148	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
18	11, 17	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
19		saliinclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
20		saliinclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
21		saldifcl 46310	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
22	19, 3, 21	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
23	1, 14, 13, 19, 20, 22	saliunclf 46313	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
24		saldifcl 46310	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
25	19, 23, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
26	18, 25	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858  ∪ ciun 4941  ∩ ciin 4942   class class class wbr 5092  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  SAlgcsalg 46299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-card 9835  df-acn 9838  df-salg 46300

This theorem is referenced by:  saliincl  46318  smfsupdmmbllem  46835  smfinfdmmbllem  46839