Theorem saliinclf 47155

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliinclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliinclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliinclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliinclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliinclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliinclf.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliinclf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliinclf	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliinclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliinclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		incom 4155	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸)
3		saliinclf.7	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
4		elssuni 4899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6		dfss2 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
7	5, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
8		dfin4 4224	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
10	2, 7, 9	3eqtr3a 2819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
11	1, 10	iineq2d 4975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
12		saliinclf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
13		saliinclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
14		saliinclf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
15	14	nfuni 4874	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑆
16	13, 15	iindif2f 45993	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
17	12, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
18	11, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
19		saliinclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
20		saliinclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
21		saldifcl 47148	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
22	19, 3, 21	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
23	1, 14, 13, 19, 20, 22	saliunclf 47151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
24		saldifcl 47148	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
25	19, 23, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
26	18, 25	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103  ωcom 7863   ≼ cdom 8951  SAlgcsalg 47137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-card 9945  df-acn 9948  df-salg 47138

This theorem is used by:  saliincl  47156  smfsupdmmbllem  47673  smfinfdmmbllem  47677