Theorem saliinclf 46688

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliinclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliinclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliinclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliinclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliinclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliinclf.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliinclf.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliinclf	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliinclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliinclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		incom 4163	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸)
3		saliinclf.7	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
4		elssuni 4896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
6		dfss2 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
8		dfin4 4232	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
10	2, 7, 9	3eqtr3a 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
11	1, 10	iineq2d 4972	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
12		saliinclf.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
13		saliinclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
14		saliinclf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
15	14	nfuni 4872	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∪ 𝑆
16	13, 15	iindif2f 45523	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
17	12, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
18	11, 17	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
19		saliinclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
20		saliinclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
21		saldifcl 46681	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
22	19, 3, 21	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
23	1, 14, 13, 19, 20, 22	saliunclf 46684	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
24		saldifcl 46681	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
25	19, 23, 24	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
26	18, 25	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948  ∩ ciin 4949   class class class wbr 5100  ωcom 7818   ≼ cdom 8893  SAlgcsalg 46670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-card 9863  df-acn 9866  df-salg 46671

This theorem is referenced by:  saliincl  46689  smfsupdmmbllem  47206  smfinfdmmbllem  47210