Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimaltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimaltle 45041
Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimaltle.x 𝑥𝜑
salpreimaltle.a 𝑎𝜑
salpreimaltle.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimaltle (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimaltle.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimaltle.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimaltle.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimaleiinlt 45036 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5 salpreimaltle.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 13893 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 43686 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10 simpl 484 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 nnrecre 12202 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1312adantl 483 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11191 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
153, 14sylan 581 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16 salpreimaltle.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
17 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1816, 17nfan 1903 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19 nfv 1918 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
2018, 19nfim 1900 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21 ovex 7395 . . . . 5 (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2322anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24 breq2 5114 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2524rabbidv 3418 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2625eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
2723, 26imbi12d 345 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28 salpreimaltle.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
2920, 21, 27, 28vtoclf 3519 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
3010, 15, 29syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
315, 7, 9, 30saliincl 44642 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
324, 31eqeltrd 2838 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2944  {crab 3410  c0 4287   ciin 4960   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  ωcom 7807  cdom 8888  cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061  *cxr 11195   < clt 11196  cle 11197   / cdiv 11819  cn 12160  SAlgcsalg 44623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-salg 44624
This theorem is referenced by:  issmfle  45060
  Copyright terms: Public domain W3C validator