Theorem salpreimaltle 47037

Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimaltle.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimaltle.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimaltle.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimaltle	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimaltle.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimaltle.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimaltle.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimaleiinlt 47032	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5		salpreimaltle.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 13908	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45689	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		nnrecre 12191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11165	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	3, 14	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16		salpreimaltle.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
17		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
18	16, 17	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
20	18, 19	nfim 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21		ovex 7393	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
23	22	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24		breq2 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎 ↔ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
25	24	rabbidv 3407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26	25	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
27	23, 26	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28		salpreimaltle.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
29	20, 21, 27, 28	vtoclf 3522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
30	10, 15, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
31	5, 7, 9, 30	saliincl 46638	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
32	4, 31	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  ∅c0 4286  ∩ ciin 4948   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12149  SAlgcsalg 46619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-fl 13716  df-salg 46620

This theorem is referenced by:  issmfle  47056