Theorem salpreimaltle 46717

Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimaltle.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimaltle.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimaltle.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimaltle	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimaltle.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimaltle.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimaltle.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimaleiinlt 46712	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5		salpreimaltle.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 13922	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45367	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		nnrecre 12204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11179	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16		salpreimaltle.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
17		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
18	16, 17	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
20	18, 19	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
23	22	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎 ↔ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
25	24	rabbidv 3410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26	25	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
27	23, 26	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28		salpreimaltle.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
29	20, 21, 27, 28	vtoclf 3527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
30	10, 15, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
31	5, 7, 9, 30	saliincl 46318	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
32	4, 31	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  ∅c0 4292  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ωcom 7822   ≼ cdom 8893  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  SAlgcsalg 46299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fl 13730  df-salg 46300

This theorem is referenced by:  issmfle  46736