Theorem salpreimaltle 46682

Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimaltle.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimaltle.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimaltle.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimaltle	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimaltle.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimaltle.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimaltle.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimaleiinlt 46677	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5		salpreimaltle.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 14019	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45328	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		nnrecre 12306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
14	11, 13	readdcld 11288	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
15	3, 14	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16		salpreimaltle.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
17		nfv 1912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
18	16, 17	nfan 1897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19		nfv 1912	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
20	18, 19	nfim 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
23	22	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎 ↔ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
25	24	rabbidv 3441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26	25	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
27	23, 26	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28		salpreimaltle.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
29	20, 21, 27, 28	vtoclf 3564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
30	10, 15, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
31	5, 7, 9, 30	saliincl 46283	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
32	4, 31	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ≤ 𝐶} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  ∅c0 4339  ∩ ciin 4997   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≼ cdom 8982  ℝcr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℕcn 12264  SAlgcsalg 46264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-salg 46265

This theorem is referenced by:  issmfle  46701