Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 46066
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 7236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 7018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
98adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
10 nnrecre 12285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 11673 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 7018 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
1413an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 7236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 7018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2019ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 11274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 7018 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖𝑋) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛)‘𝑖) = ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 7438 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 5021 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 44927 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2826, 27eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
2928ixpeq2dva 8931 . . . 4 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
3029eqcomd 2734 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
31 eqidd 2729 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)))
32 nnn0 44760 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
34 ixpiin 8943 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝜑X𝑖𝑋 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
3630, 31, 353eqtr3d 2776 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
383, 37dmovnsal 46000 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 13979 . . . 4 ℕ ≼ ω
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
4112fmpttd 7125 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
42 ressxr 11289 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ⊆ ℝ*)
4441, 43fssd 6740 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
456feq1d 6707 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐴𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
4644, 45mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ*)
4722fmpttd 7125 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
4847, 43fssd 6740 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
4918feq1d 6707 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖𝑋 ↦ ((𝐵𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
5048, 49mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):𝑋⟶ℝ*)
514, 37, 46, 50ioovonmbl 46065 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5238, 40, 33, 51saliincl 45715 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑖𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
5336, 52eqeltrd 2829 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,](𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  wss 3947  c0 4323   ciin 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  ωcom 7870  Xcixp 8916  cdom 8962  Fincfn 8964  cr 11138  1c1 11140   + caddc 11142  *cxr 11278  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360  volncvoln 45926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-ac2 10487  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-ac 10140  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-prod 15883  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-field 20627  df-abv 20697  df-staf 20725  df-srng 20726  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-refld 21537  df-phl 21558  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-tng 24506  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-clm 25003  df-cph 25109  df-tcph 25110  df-rrx 25326  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-salg 45697  df-sumge0 45751  df-mea 45838  df-ome 45878  df-caragen 45880  df-ovoln 45925  df-voln 45927
This theorem is referenced by:  iccvonmbl  46067
  Copyright terms: Public domain W3C validator