Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 45979
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
iccvonmbllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
iccvonmbllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
iccvonmbllem.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝐢(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 7230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
98adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10 nnrecre 12270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 11658 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 7012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
1413an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 7230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 7012 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2019ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2120adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 11259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 7012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 651 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 7432 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 5016 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 44840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))) = ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
2826, 27eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
2928ixpeq2dva 8920 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
3029eqcomd 2733 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
31 eqidd 2728 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
32 nnn0 44673 . . . . 5 β„• β‰  βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
34 ixpiin 8932 . . . 4 (β„• β‰  βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
3533, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
3630, 31, 353eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
383, 37dmovnsal 45913 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 13964 . . . 4 β„• β‰Ό Ο‰
4039a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
4112fmpttd 7119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
42 ressxr 11274 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
4342a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
4441, 43fssd 6734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*)
456feq1d 6701 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*))
4644, 45mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„*)
4722fmpttd 7119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
4847, 43fssd 6734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*)
4918feq1d 6701 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*))
5048, 49mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„*)
514, 37, 46, 50ioovonmbl 45978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
5238, 40, 33, 51saliincl 45628 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
5336, 52eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆ© ciin 4992   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Ο‰com 7862  Xcixp 8905   β‰Ό cdom 8951  Fincfn 8953  β„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127  β„*cxr 11263   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  (,)cioo 13342  [,]cicc 13345  volncvoln 45839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-ac2 10472  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10125  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-prod 15868  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-drng 20608  df-field 20609  df-abv 20679  df-staf 20707  df-srng 20708  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lmhm 20889  df-lvec 20970  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-refld 21517  df-phl 21538  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-xms 24200  df-ms 24201  df-nm 24465  df-ngp 24466  df-tng 24467  df-nrg 24468  df-nlm 24469  df-clm 24964  df-cph 25070  df-tcph 25071  df-rrx 25287  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-salg 45610  df-sumge0 45664  df-mea 45751  df-ome 45791  df-caragen 45793  df-ovoln 45838  df-voln 45840
This theorem is referenced by:  iccvonmbl  45980
  Copyright terms: Public domain W3C validator