Theorem iccvonmbllem 47321

Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccvonmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s	⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
iccvonmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
iccvonmbllem.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
iccvonmbllem	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccvonmbllem.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))))
3		iccvonmbllem.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
5	4	mptexd 7225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))) ∈ V)
6	2, 5	fvmpt2d 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))))
7		iccvonmbllem.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
9	8	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
10		nnrecre 12280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
11	10	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
12	9, 11	resubcld 11644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
13	6, 12	fvmpt2d 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
14	13	an32s 664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑛)‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛)))
15		iccvonmbllem.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))))
17	4	mptexd 7225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
18	16, 17	fvmpt2d 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
19		iccvonmbllem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
20	19	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
21	20	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
22	21, 11	readdcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
23	18, 22	fvmpt2d 7006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑖) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
24	23	an32s 664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷‘𝑛)‘𝑖) = ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛)))
25	14, 24	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = (((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
26	25	iineq2dv 4986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))))
27	8, 20	iooiinicc 46187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))(,)((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))) = ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)))
28	26, 27	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)))
29	28	ixpeq2dva 8912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)))
30	29	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)))
31		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)))
32		nnn0 46022	. . . . 5 ⊢ ℕ ≠ ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
34		ixpiin 8924	. . . 4 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ ℕ (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)))
36	30, 31, 35	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)))
37		iccvonmbllem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
38	3, 37	dmovnsal 47255	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
39		nnct 14019	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
41	12	fmpttd 7113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
42		ressxr 11255	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ⊆ ℝ*)
44	41, 43	fssd 6726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
45	6	feq1d 6690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐴‘𝑖) − (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
46	44, 45	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑛):𝑋⟶ℝ*)
47	22	fmpttd 7113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
48	47, 43	fssd 6726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*)
49	18	feq1d 6690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷‘𝑛):𝑋⟶ℝ* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐵‘𝑖) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ*))
50	48, 49	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑛):𝑋⟶ℝ*)
51	4, 37, 46, 50	ioovonmbl 47320	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
52	38, 40, 33, 51	saliincl 46970	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑖 ∈ 𝑋 (((𝐶‘𝑛)‘𝑖)(,)((𝐷‘𝑛)‘𝑖)) ∈ 𝑆)
53	36, 52	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,](𝐵‘𝑖)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∩ ciin 4961   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5664  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ωcom 7864  Xcixp 8897   ≼ cdom 8943  Fincfn 8945  ℝcr 11101  1c1 11103   + caddc 11105  ℝ^*cxr 11244   − cmin 11443   / cdiv 11873  ℕcn 12235  (,)cioo 13374  [,]cicc 13377  volncvoln 47181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cc 10421  ax-ac2 10449  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181  ax-mulf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-dju 9889  df-card 9927  df-acn 9930  df-ac 10102  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-prod 15960  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-dvr 20485  df-rhm 20556  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-drng 20817  df-field 20818  df-abv 20892  df-staf 20922  df-srng 20923  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lmhm 21123  df-lvec 21204  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-cnfld 21494  df-refld 21726  df-phl 21747  df-dsmm 21853  df-frlm 21868  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cmp 23515  df-xms 24448  df-ms 24449  df-nm 24710  df-ngp 24711  df-tng 24712  df-nrg 24713  df-nlm 24714  df-clm 25193  df-cph 25298  df-tcph 25299  df-rrx 25515  df-ovol 25594  df-vol 25595  df-salg 46952  df-sumge0 47006  df-mea 47093  df-ome 47133  df-caragen 47135  df-ovoln 47180  df-voln 47182

This theorem is referenced by:  iccvonmbl  47322