Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccvonmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccvonmbllem 46125
Description: Any n-dimensional closed interval is Lebesgue measurable. This is the second statement in Proposition 115G (c) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccvonmbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
iccvonmbllem.s 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
iccvonmbllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
iccvonmbllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
iccvonmbllem.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
iccvonmbllem.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iccvonmbllem (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   𝐢,𝑖   𝐷,𝑖   𝑆,𝑛   𝑖,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝐢(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem iccvonmbllem
StepHypRef Expression
1 iccvonmbllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))))
3 iccvonmbllem.x . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
43adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
54mptexd 7230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V)
62, 5fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))))
7 iccvonmbllem.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
98adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10 nnrecre 12279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11resubcld 11667 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
136, 12fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
1413an32s 650 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛)))
15 iccvonmbllem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))))
174mptexd 7230 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1816, 17fvmpt2d 7011 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
19 iccvonmbllem.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2019ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2120adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘–) ∈ ℝ)
2221, 11readdcld 11268 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
2318, 22fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
2423an32s 650 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–) = ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛)))
2514, 24oveq12d 7431 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
2625iineq2dv 5017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))))
278, 20iooiinicc 44986 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))(,)((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))) = ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
2826, 27eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
2928ixpeq2dva 8924 . . . 4 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
3029eqcomd 2731 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
31 eqidd 2726 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)))
32 nnn0 44819 . . . . 5 β„• β‰  βˆ…
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
34 ixpiin 8936 . . . 4 (β„• β‰  βˆ… β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
3533, 34syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ∩ 𝑛 ∈ β„• (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
3630, 31, 353eqtr3d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) = ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)))
37 iccvonmbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (volnβ€˜π‘‹)
383, 37dmovnsal 46059 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
39 nnct 13973 . . . 4 β„• β‰Ό Ο‰
4039a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
4112fmpttd 7118 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
42 ressxr 11283 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
4342a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
4441, 43fssd 6734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*)
456feq1d 6702 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘–) βˆ’ (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*))
4644, 45mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„*)
4722fmpttd 7118 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
4847, 43fssd 6734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*)
4918feq1d 6702 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„* ↔ (𝑖 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘–) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„*))
5048, 49mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„*)
514, 37, 46, 50ioovonmbl 46124 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
5238, 40, 33, 51saliincl 45774 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• X𝑖 ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘–)(,)((π·β€˜π‘›)β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
5336, 52eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘–)[,](π΅β€˜π‘–)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  βˆ© ciin 4993   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Ο‰com 7865  Xcixp 8909   β‰Ό cdom 8955  Fincfn 8957  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136  β„*cxr 11272   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  volncvoln 45985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-prod 15877  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-abv 20696  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lmhm 20906  df-lvec 20987  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-refld 21536  df-phl 21557  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-tng 24506  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-clm 25003  df-cph 25109  df-tcph 25110  df-rrx 25326  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-salg 45756  df-sumge0 45810  df-mea 45897  df-ome 45937  df-caragen 45939  df-ovoln 45984  df-voln 45986
This theorem is referenced by:  iccvonmbl  46126
  Copyright terms: Public domain W3C validator