Theorem salpreimagtge 47540

Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimagtge.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimagtge.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimagtge.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimagtge	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimagtge.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimagtge.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimagtge.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimageiingt 47535	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5		salpreimagtge.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 14047	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 46194	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		nnrecre 12305	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11669	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14		salpreimagtge.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
15		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
16	14, 15	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
18	16, 17	nfim 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
21	20	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23	22	rabbidv 3421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
24	23	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
25	21, 24	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26		salpreimagtge.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
27	18, 19, 25, 26	vtoclf 3528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
28	13, 27	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
29	5, 7, 9, 28	saliincl 47142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
30	4, 29	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  ∅c0 4282  ∩ ciin 4955   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ωcom 7865   ≼ cdom 8953  ℝcr 11126  1c1 11128  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  SAlgcsalg 47123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fl 13855  df-salg 47124

This theorem is used by:  salpreimalelt  47544  salpreimagtlt  47545  issmfge  47585