Theorem salpreimagtge 46754

Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimagtge.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimagtge.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimagtge.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimagtge	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimagtge.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimagtge.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimagtge.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimageiingt 46749	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5		salpreimagtge.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 13999	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45405	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		nnrecre 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14		salpreimagtge.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
15		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
18	16, 17	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20		eleq1 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
21	20	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23	22	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
24	23	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
25	21, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26		salpreimagtge.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
27	18, 19, 25, 26	vtoclf 3543	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
28	13, 27	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
29	5, 7, 9, 28	saliincl 46356	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
30	4, 29	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415  ∅c0 4308  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ωcom 7861   ≼ cdom 8957  ℝcr 11128  1c1 11130  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  SAlgcsalg 46337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fl 13809  df-salg 46338

This theorem is referenced by:  salpreimalelt  46758  salpreimagtlt  46759  issmfge  46799