Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtge 46681
Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtge.x 𝑥𝜑
salpreimagtge.a 𝑎𝜑
salpreimagtge.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtge (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtge.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimagtge.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimagtge.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimageiingt 46676 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5 salpreimagtge.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 14019 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 45328 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
103adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 nnrecre 12306 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 11689 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14 salpreimagtge.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1614, 15nfan 1897 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17 nfv 1912 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
1816, 17nfim 1894 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19 ovex 7464 . . . . 5 (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2120anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2322rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2423eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26 salpreimagtge.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2718, 19, 25, 26vtoclf 3564 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
2813, 27syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
295, 7, 9, 28saliincl 46283 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
304, 29eqeltrd 2839 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  c0 4339   ciin 4997   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8982  cr 11152  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fl 13829  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  salpreimalelt  46685  salpreimagtlt  46686  issmfge  46726
  Copyright terms: Public domain W3C validator