Theorem salpreimagtge 46740

Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimagtge.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimagtge.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimagtge.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimagtge	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimagtge.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimagtge.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimagtge.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimageiingt 46735	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5		salpreimagtge.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 14022	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45389	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		nnrecre 12308	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11691	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14		salpreimagtge.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
15		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
18	16, 17	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
21	20	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23	22	rabbidv 3444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
24	23	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
25	21, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26		salpreimagtge.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
27	18, 19, 25, 26	vtoclf 3564	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
28	13, 27	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
29	5, 7, 9, 28	saliincl 46342	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
30	4, 29	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  ∅c0 4333  ∩ ciin 4992   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≼ cdom 8983  ℝcr 11154  1c1 11156  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  SAlgcsalg 46323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832  df-salg 46324

This theorem is referenced by:  salpreimalelt  46744  salpreimagtlt  46745  issmfge  46785