Theorem salpreimagtge 46716

Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salpreimagtge.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
salpreimagtge.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
salpreimagtge.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
salpreimagtge	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salpreimagtge.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		salpreimagtge.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		salpreimagtge.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	preimageiingt 46711	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} = ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5		salpreimagtge.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
6		nnct 13888	. . . 4 ⊢ ℕ ≼ ω
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8		nnn0 45367	. . . 4 ⊢ ℕ ≠ ∅
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11		nnrecre 12170	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
13	10, 12	resubcld 11548	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14		salpreimagtge.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
15		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
16	14, 15	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
18	16, 17	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19		ovex 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
21	20	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22		breq1 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23	22	rabbidv 3402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
24	23	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
25	21, 24	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26		salpreimagtge.p	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
27	18, 19, 25, 26	vtoclf 3519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
28	13, 27	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
29	5, 7, 9, 28	saliincl 46318	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
30	4, 29	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐶 ≤ 𝐵} ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  ∅c0 4284  ∩ ciin 4942   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ωcom 7799   ≼ cdom 8870  ℝcr 11008  1c1 11010  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  SAlgcsalg 46299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fl 13696  df-salg 46300

This theorem is referenced by:  salpreimalelt  46720  salpreimagtlt  46721  issmfge  46761