Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtge 41728
Description: If all the preimages of left-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of left-closed, unbounded above intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (iv) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtge.x 𝑥𝜑
salpreimagtge.a 𝑎𝜑
salpreimagtge.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtge.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtge.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtge.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtge (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtge
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtge.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimagtge.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimagtge.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimageiingt 41724 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
5 salpreimagtge.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 13075 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 40392 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
103adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 nnrecre 11393 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1211adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1310, 12resubcld 10782 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
14 salpreimagtge.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
15 nfv 2015 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1614, 15nfan 2004 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17 nfv 2015 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆
1816, 17nfim 2001 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
19 ovex 6937 . . . . 5 (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ V
20 eleq1 2894 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2120anbi2d 624 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
22 breq1 4876 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (𝑎 < 𝐵 ↔ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2322rabbidv 3402 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2423eleq1d 2891 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆))
2521, 24imbi12d 336 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 − (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)))
26 salpreimagtge.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2718, 19, 25, 26vtoclf 3474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
2813, 27syldan 587 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
295, 7, 9, 28saliincl 41336 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ∈ 𝑆)
304, 29eqeltrd 2906 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wnf 1884  wcel 2166  wne 2999  {crab 3121  c0 4144   ciin 4741   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  ωcom 7326  cdom 8220  cr 10251  1c1 10253  *cxr 10390   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  SAlgcsalg 41319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-acn 9081  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-fl 12888  df-salg 41320
This theorem is referenced by:  salpreimalelt  41732  salpreimagtlt  41733  issmfge  41772
  Copyright terms: Public domain W3C validator