Theorem iooborel 46791

Description: An open interval is a Borel set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooborel.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
iooborel.2	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
iooborel	⊢ (𝐴(,)𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem iooborel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooborel.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retop 24747	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3	1, 2	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
4		iooborel.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
5	4	sssalgen 46775	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝐵)
6	3, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐵
7		iooretop 24751	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
8	7, 1	eleqtrri 2835	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐶) ∈ 𝐽
9	6, 8	sselii 3915	1 ⊢ (𝐴(,)𝐶) ∈ 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3886  ran crn 5622  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  (,)cioo 13292  topGenctg 17394  Topctop 22879  SalGencsalgen 46752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-ioo 13296  df-topgen 17400  df-top 22880  df-bases 22932  df-salg 46749  df-salgen 46753

This theorem is referenced by:  iocborel  46796  incsmflem  47181  decsmflem  47206