Theorem neg1lt0 12090

Description: -1 is less than 0. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
neg1lt0	⊢ -1 < 0

Proof of Theorem neg1lt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 11267	. . 3 ⊢ -0 = 0
2		0lt1 11497	. . 3 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	eqbrtri 5095	. 2 ⊢ -0 < 1
4		1re 10975	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0re 10977	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnegcon1i 11526	. 2 ⊢ (-1 < 0 ↔ -0 < 1)
7	3, 6	mpbir 230	1 ⊢ -1 < 0

Syntax hints:   class class class wbr 5074  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  risefall0lem  15736  binomfallfaclem2  15750  nthruz  15962  psgnodpmr  20795  xrhmph  24110  vitalilem4  24775  vitali  24777  atanre  26035  lgsdir2lem3  26475  ballotlem1c  32474  sgnnbi  32512  sgnpbi  32513  sgnsgn  32515  sgnmulsgn  32516  signswch  32540  fz0n  33696  bcneg1  33702  cnndvlem1  34717  irrdiff  35497  asindmre  35860  stoweidlem7  43548  stirlinglem6  43620  fouriersw  43772  dignn0flhalflem1  45961