Theorem sigarid 46769

Description: Signed area of a flat parallelogram is zero. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2	1	sigarval 46761	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)))
4		cjcl 15148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcomd 11305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7		cjmulrcl 15187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℝ)
9	8	reim0d 15268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)) = 0)
10	3, 9	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  ℂcc 11176  ℝcr 11177  0cc0 11178   · cmul 11183  ∗ccj 15139  ℑcim 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8757  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-2 12350  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144

This theorem is referenced by:  sigarexp  46770  sigarcol  46775