Theorem sigarid 46846

Description: Signed area of a flat parallelogram is zero. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2	1	sigarval 46838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)))
3	2	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)))
4		cjcl 15140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcomd 11278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
7		cjmulrcl 15179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	6, 7	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · 𝐴) ∈ ℝ)
9	8	reim0d 15260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐴)) = 0)
10	3, 9	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   ∈ cmpo 7431  ℂcc 11149  ℝcr 11150  0cc0 11151   · cmul 11156  ∗ccj 15131  ℑcim 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-2 12325  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136

This theorem is referenced by:  sigarexp  46847  sigarcol  46852