Theorem reim0d 14686

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
crred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
reim0d	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem reim0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reim0 14579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6349  ℝcr 10626  0cc0 10627  ℑcim 14559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-2 11791  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14830  zgz  16381  ismbf  24392  iblrelem  24555  itgrevallem1  24559  aaliou2b  25101  tanregt0  25295  logcnlem3  25399  logf1o2  25405  logbrec  25532  ang180lem2  25560  isosctrlem2  25569  zetacvg  25764  basellem3  25832  dstregt0  42397  absimlere  42600  sigarid  43953  sharhght  43960  readdcnnred  44376  resubcnnred  44377