Theorem reim0d 14576

Description: The imaginary part of a real number is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
crred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
reim0d	⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem reim0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		reim0 14469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  0cc0 10526  ℑcim 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14720  zgz  16259  ismbf  24232  iblrelem  24394  itgrevallem1  24398  aaliou2b  24937  tanregt0  25131  logcnlem3  25235  logf1o2  25241  logbrec  25368  ang180lem2  25396  isosctrlem2  25405  zetacvg  25600  basellem3  25668  dstregt0  41912  absimlere  42119  sigarid  43472  sharhght  43479  readdcnnred  43860  resubcnnred  43861