Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarexp 46294
Description: Expand the signed area formula by linearity. (Contributed by Saveliy Skresanov, 20-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
sigarexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigarexp
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2 simp3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11611 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4 sigar . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
54sigarmf 46289 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
63, 5syld3an2 1408 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
74sigarms 46291 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)))
87oveq1d 7441 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ))) = (((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
94sigarms 46291 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ถ)))
102, 9syld3an1 1407 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ถ)))
114sigarid 46293 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ถ๐บ๐ถ) = 0)
122, 11syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ถ) = 0)
1312oveq2d 7442 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ๐บ๐ต) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ถ)) = ((๐ถ๐บ๐ต) โˆ’ 0))
144sigarim 46286 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) โˆˆ โ„)
1514recnd 11282 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) โˆˆ โ„‚)
162, 1, 15syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716subid1d 11600 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ๐บ๐ต) โˆ’ 0) = (๐ถ๐บ๐ต))
1810, 13, 173eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (๐ถ๐บ๐ต))
1918oveq2d 7442 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ))) = (((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
206, 8, 193eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = (((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  โ„‚cc 11146  0cc0 11148   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  โˆ—ccj 15085  โ„‘cim 15087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090
This theorem is referenced by:  sigarperm  46295
  Copyright terms: Public domain W3C validator