Theorem sigarls 47209

Description: Signed area is linear by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarls	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 15131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 3, 6	mulassd 11167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶)))
8	7	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
9		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2, 3	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	immul2d 15163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
12	10, 6	mulcomd 11165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
13	12	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
14		imcl 15046	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16, 6	mulcomd 11165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
18	11, 13, 17	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
19	8, 18	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
20		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 5	mulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
23		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
24	23	sigarval 47202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
25	1, 22, 24	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
26	23	sigarval 47202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	27	oveq1d 7383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
29	19, 25, 28	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℂcc 11036  ℝcr 11037   · cmul 11043  ∗ccj 15031  ℑcim 15033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036

This theorem is referenced by:  sigarcol  47216  sharhght  47217  sigaradd  47218