Theorem sigarls 47519

Description: Signed area is linear by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarls	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 15246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 3, 6	mulassd 11231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶)))
8	7	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
9		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2, 3	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	immul2d 15278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
12	10, 6	mulcomd 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
13	12	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
14		imcl 15161	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16, 6	mulcomd 11229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
18	11, 13, 17	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
19	8, 18	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
20		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 5	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
23		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
24	23	sigarval 47512	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
25	1, 22, 24	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
26	23	sigarval 47512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	27	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
29	19, 25, 28	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11097  ℝcr 11098   · cmul 11104  ∗ccj 15146  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by:  sigarcol  47526  sharhght  47527  sigaradd  47528