Theorem sigarls 43471

Description: Signed area is linear by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarls	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 14547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 3, 6	mulassd 10653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶)))
8	7	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
9		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2, 3	mulcld 10650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	immul2d 14579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
12	10, 6	mulcomd 10651	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
13	12	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
14		imcl 14462	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16, 6	mulcomd 10651	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
18	11, 13, 17	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
19	8, 18	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
20		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 5	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
23		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
24	23	sigarval 43464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
25	1, 22, 24	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
26	23	sigarval 43464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	27	oveq1d 7150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
29	19, 25, 28	3eqtr4d 2843	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ℂcc 10524  ℝcr 10525   · cmul 10531  ∗ccj 14447  ℑcim 14449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452

This theorem is referenced by:  sigarcol  43478  sharhght  43479  sigaradd  43480