Theorem sigarls 46142

Description: Signed area is linear by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarls	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 15149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
3		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
6	5	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	2, 3, 6	mulassd 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶)))
8	7	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
9		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	2, 3	mulcld 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
11	9, 10	immul2d 15181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
12	10, 6	mulcomd 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶) = (𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵)))
13	12	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = (ℑ‘(𝐶 · ((∗‘𝐴) · 𝐵))))
14		imcl 15064	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ (((∗‘𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) ∈ ℂ)
17	16, 6	mulcomd 11239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶) = (𝐶 · (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵))))
18	11, 13, 17	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘(((∗‘𝐴) · 𝐵) · 𝐶)) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
19	8, 18	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
20		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20, 5	mulcld 11238	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
22	21	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
23		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
24	23	sigarval 46135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
25	1, 22, 24	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · (𝐵 · 𝐶))))
26	23	sigarval 46135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
27	26	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺𝐵) = (ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)))
28	27	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶) = ((ℑ‘((∗‘𝐴) · 𝐵)) · 𝐶))
29	19, 25, 28	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐺(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11110  ℝcr 11111   · cmul 11117  ∗ccj 15049  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  sigarcol  46149  sharhght  46150  sigaradd  46151