Theorem cjmulrcl 14586

Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulrcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cjmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj 14582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
2	1	oveq2d 7180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
3		cjcl 14547	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		cjmul 14584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
5	3, 4	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
6		mulcom 10694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
7	3, 6	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
8	2, 5, 7	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
9		mulcl 10692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	3, 9	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		cjreb 14565	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ↔ (∗‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13	8, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  ℝcr 10607   · cmul 10613  ∗ccj 14538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543

This theorem is referenced by:  cjmulval  14587  cjmulrcli  14619  cjmulrcld  14648  abscl  14721  absvalsq  14723  absge0  14730  absmul  14737  absfico  42280  sigarid  43897