MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjmulrcl 15133
Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjmulrcl (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem cjmulrcl
StepHypRef Expression
1 cjcj 15129 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ๐ด)
21oveq2d 7442 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
3 cjcl 15094 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 cjmul 15131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))
53, 4mpdan 685 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))
6 mulcom 11234 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
73, 6mpdan 685 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
82, 5, 73eqtr4d 2778 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
9 mulcl 11232 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
103, 9mpdan 685 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
11 cjreb 15112 . . 3 ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
1210, 11syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
138, 12mpbird 256 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147   ยท cmul 11153  โˆ—ccj 15085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-2 12315  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090
This theorem is referenced by:  cjmulval  15134  cjmulrcli  15166  cjmulrcld  15195  abscl  15267  absvalsq  15269  absge0  15276  absmul  15283  absfico  44639  sigarid  46293
  Copyright terms: Public domain W3C validator