MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjmulrcl 15097
Description: A complex number times its conjugate is real. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjmulrcl (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)

Proof of Theorem cjmulrcl
StepHypRef Expression
1 cjcj 15093 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด)) = ๐ด)
21oveq2d 7421 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
3 cjcl 15058 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 cjmul 15095 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))
53, 4mpdan 684 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท (โˆ—โ€˜(โˆ—โ€˜๐ด))))
6 mulcom 11198 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
73, 6mpdan 684 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) = ((โˆ—โ€˜๐ด) ยท ๐ด))
82, 5, 73eqtr4d 2776 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)))
9 mulcl 11196 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
103, 9mpdan 684 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
11 cjreb 15076 . . 3 ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
1210, 11syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†” (โˆ—โ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด))))
138, 12mpbird 257 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   ยท cmul 11117  โˆ—ccj 15049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  cjmulval  15098  cjmulrcli  15130  cjmulrcld  15159  abscl  15231  absvalsq  15233  absge0  15240  absmul  15247  absfico  44486  sigarid  46143
  Copyright terms: Public domain W3C validator