Theorem sigariz 46811

Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarimcd.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigariz	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigariz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2		sigarimcd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		sigarimcd.sigar	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarac 46800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
6	1, 5	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
7	6	negeqd 11483	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8		neg0 11536	. . 3 ⊢ -0 = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
10	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
11	3, 10	sigarimcd 46810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 11592	. 2 ⊢ (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtr3rd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11134  0cc0 11136   · cmul 11141  -cneg 11474  ∗ccj 15116  ℑcim 15118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46816