Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigariz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigariz 46148
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarimcd.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sigarimcd.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
sigariz.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigariz (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigariz
StepHypRef Expression
1 sigariz.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = 0)
2 sigarimcd.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
3 sigarimcd.sigar . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
43sigarac 46137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
61, 5eqtr3d 2768 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = -(๐ต๐บ๐ด))
76negeqd 11458 . 2 (๐œ‘ โ†’ -0 = --(๐ต๐บ๐ด))
8 neg0 11510 . . 3 -0 = 0
98a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ -0 = 0)
102ancomd 461 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
113, 10sigarimcd 46147 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1211negnegd 11566 . 2 (๐œ‘ โ†’ --(๐ต๐บ๐ด) = (๐ต๐บ๐ด))
137, 9, 123eqtr3rd 2775 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  -cneg 11449  โˆ—ccj 15049  โ„‘cim 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  cevathlem2  46153
  Copyright terms: Public domain W3C validator