Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigariz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigariz 44051
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarimcd.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigariz (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz
StepHypRef Expression
1 sigariz.a . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2 sigarimcd.a . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3 sigarimcd.sigar . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
43sigarac 44040 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
61, 5eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
76negeqd 11072 . 2 (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8 neg0 11124 . . 3 -0 = 0
98a1i 11 . 2 (𝜑 → -0 = 0)
102ancomd 465 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
113, 10sigarimcd 44050 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
1211negnegd 11180 . 2 (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
137, 9, 123eqtr3rd 2786 1 (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  cc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734  -cneg 11063  ccj 14659  cim 14661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664
This theorem is referenced by:  cevathlem2  44056
  Copyright terms: Public domain W3C validator