Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigariz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigariz 45565
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarimcd.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sigarimcd.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
sigariz.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigariz (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigariz
StepHypRef Expression
1 sigariz.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = 0)
2 sigarimcd.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
3 sigarimcd.sigar . . . . . 6 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
43sigarac 45554 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
61, 5eqtr3d 2774 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 = -(๐ต๐บ๐ด))
76negeqd 11450 . 2 (๐œ‘ โ†’ -0 = --(๐ต๐บ๐ด))
8 neg0 11502 . . 3 -0 = 0
98a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ -0 = 0)
102ancomd 462 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
113, 10sigarimcd 45564 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1211negnegd 11558 . 2 (๐œ‘ โ†’ --(๐ต๐บ๐ด) = (๐ต๐บ๐ด))
137, 9, 123eqtr3rd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ต๐บ๐ด) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11104  0cc0 11106   ยท cmul 11111  -cneg 11441  โˆ—ccj 15039  โ„‘cim 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044
This theorem is referenced by:  cevathlem2  45570
  Copyright terms: Public domain W3C validator