![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sigariz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
sigarimcd.sigar | โข ๐บ = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (โโ((โโ๐ฅ) ยท ๐ฆ))) |
sigarimcd.a | โข (๐ โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ)) |
sigariz.a | โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = 0) |
Ref | Expression |
---|---|
sigariz | โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sigariz.a | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = 0) | |
2 | sigarimcd.a | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ)) | |
3 | sigarimcd.sigar | . . . . . 6 โข ๐บ = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (โโ((โโ๐ฅ) ยท ๐ฆ))) | |
4 | 3 | sigarac 46137 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด)) |
5 | 2, 4 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด)) |
6 | 1, 5 | eqtr3d 2768 | . . 3 โข (๐ โ 0 = -(๐ต๐บ๐ด)) |
7 | 6 | negeqd 11458 | . 2 โข (๐ โ -0 = --(๐ต๐บ๐ด)) |
8 | neg0 11510 | . . 3 โข -0 = 0 | |
9 | 8 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ -0 = 0) |
10 | 2 | ancomd 461 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต โ โ โง ๐ด โ โ)) |
11 | 3, 10 | sigarimcd 46147 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) โ โ) |
12 | 11 | negnegd 11566 | . 2 โข (๐ โ --(๐ต๐บ๐ด) = (๐ต๐บ๐ด)) |
13 | 7, 9, 12 | 3eqtr3rd 2775 | 1 โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 โcc 11110 0cc0 11112 ยท cmul 11117 -cneg 11449 โccj 15049 โcim 15051 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-po 5581 df-so 5582 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-2 12279 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 |
This theorem is referenced by: cevathlem2 46153 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |