Theorem sigariz 46786

Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarimcd.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigariz	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigariz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2		sigarimcd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		sigarimcd.sigar	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarac 46775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
6	1, 5	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
7	6	negeqd 11532	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8		neg0 11584	. . 3 ⊢ -0 = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
10	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
11	3, 10	sigarimcd 46785	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 11640	. 2 ⊢ (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtr3rd 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ∈ cmpo 7452  ℂcc 11184  0cc0 11186   · cmul 11191  -cneg 11523  ∗ccj 15147  ℑcim 15149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-2 12358  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46791