Theorem sigariz 43114

Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarimcd.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigariz	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigariz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2		sigarimcd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		sigarimcd.sigar	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarac 43103	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
6	1, 5	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
7	6	negeqd 10874	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8		neg0 10926	. . 3 ⊢ -0 = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
10	2	ancomd 464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
11	3, 10	sigarimcd 43113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 10982	. 2 ⊢ (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtr3rd 2865	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536  -cneg 10865  ∗ccj 14449  ℑcim 14451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454

This theorem is referenced by:  cevathlem2  43119