Theorem sigariz 45565

Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarimcd.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigariz	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigariz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2		sigarimcd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		sigarimcd.sigar	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarac 45554	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
6	1, 5	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
7	6	negeqd 11450	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8		neg0 11502	. . 3 ⊢ -0 = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
10	2	ancomd 462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
11	3, 10	sigarimcd 45564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 11558	. 2 ⊢ (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111  -cneg 11441  ∗ccj 15039  ℑcim 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044

This theorem is referenced by:  cevathlem2  45570