Theorem sigariz 46847

Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarimcd.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
sigariz	⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigariz.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2		sigarimcd.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3		sigarimcd.sigar	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
4	3	sigarac 46836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
6	1, 5	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
7	6	negeqd 11509	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8		neg0 11562	. . 3 ⊢ -0 = 0
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -0 = 0)
10	2	ancomd 461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
11	3, 10	sigarimcd 46846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
12	11	negnegd 11618	. 2 ⊢ (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtr3rd 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ∈ cmpo 7440  ℂcc 11160  0cc0 11162   · cmul 11167  -cneg 11500  ∗ccj 15141  ℑcim 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-2 12336  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146

This theorem is referenced by:  cevathlem2  46852