![]() |
Mathbox for Saveliy Skresanov |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sigariz | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
sigarimcd.sigar | โข ๐บ = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (โโ((โโ๐ฅ) ยท ๐ฆ))) |
sigarimcd.a | โข (๐ โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ)) |
sigariz.a | โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = 0) |
Ref | Expression |
---|---|
sigariz | โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sigariz.a | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = 0) | |
2 | sigarimcd.a | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ)) | |
3 | sigarimcd.sigar | . . . . . 6 โข ๐บ = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (โโ((โโ๐ฅ) ยท ๐ฆ))) | |
4 | 3 | sigarac 45554 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด)) |
5 | 2, 4 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด)) |
6 | 1, 5 | eqtr3d 2774 | . . 3 โข (๐ โ 0 = -(๐ต๐บ๐ด)) |
7 | 6 | negeqd 11450 | . 2 โข (๐ โ -0 = --(๐ต๐บ๐ด)) |
8 | neg0 11502 | . . 3 โข -0 = 0 | |
9 | 8 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ -0 = 0) |
10 | 2 | ancomd 462 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต โ โ โง ๐ด โ โ)) |
11 | 3, 10 | sigarimcd 45564 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) โ โ) |
12 | 11 | negnegd 11558 | . 2 โข (๐ โ --(๐ต๐บ๐ด) = (๐ต๐บ๐ด)) |
13 | 7, 9, 12 | 3eqtr3rd 2781 | 1 โข (๐ โ (๐ต๐บ๐ด) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 โcc 11104 0cc0 11106 ยท cmul 11111 -cneg 11441 โccj 15039 โcim 15041 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-2 12271 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 |
This theorem is referenced by: cevathlem2 45570 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |