Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigariz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigariz 46719
Description: If signed area is zero, the signed area with swapped arguments is also zero. Deduction version. (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarimcd.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarimcd.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
sigariz.a (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
Assertion
Ref Expression
sigariz (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigariz
StepHypRef Expression
1 sigariz.a . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = 0)
2 sigarimcd.a . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3 sigarimcd.sigar . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
43sigarac 46708 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
61, 5eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → 0 = -(𝐵𝐺𝐴))
76negeqd 11526 . 2 (𝜑 → -0 = --(𝐵𝐺𝐴))
8 neg0 11578 . . 3 -0 = 0
98a1i 11 . 2 (𝜑 → -0 = 0)
102ancomd 461 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
113, 10sigarimcd 46718 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
1211negnegd 11634 . 2 (𝜑 → --(𝐵𝐺𝐴) = (𝐵𝐺𝐴))
137, 9, 123eqtr3rd 2783 1 (𝜑 → (𝐵𝐺𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  cmpo 7447  cc 11178  0cc0 11180   · cmul 11185  -cneg 11517  ccj 15141  cim 15143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-2 12352  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146
This theorem is referenced by:  cevathlem2  46724
  Copyright terms: Public domain W3C validator