Theorem sltdivmul2wd 28142

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltdivmul2wd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltdivmul2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		sltdivmulwd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		sltdivmulwd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5		sltdivmulwd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
6	1, 2, 3, 4, 5	sltdivmulwd 28141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))
7	2, 3	mulscomd 28083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐵))
8	7	breq2d 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s (𝐵 ·s 𝐶) ↔ 𝐴 <s (𝐶 ·s 𝐵)))
9	6, 8	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403   No csur 27601   <s cslt 27602   0_s c0s 27784   1_s c1s 27785   ·_s cmuls 28049   /_su cdivs 28130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-1o 8478  df-2o 8479  df-nadd 8676  df-no 27604  df-slt 27605  df-bday 27606  df-sle 27707  df-sslt 27743  df-scut 27745  df-0s 27786  df-1s 27787  df-made 27803  df-old 27804  df-left 27806  df-right 27807  df-norec 27888  df-norec2 27899  df-adds 27910  df-negs 27970  df-subs 27971  df-muls 28050  df-divs 28131

This theorem is referenced by:  precsexlem9  28156  sltdivmul2d  28169