Theorem sltmuldiv2wd 28151

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltmuldiv2wd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltmuldiv2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscomd 28090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
4	3	breq1d 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵))
5		sltdivmulwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		sltdivmulwd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
7		sltdivmulwd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
8	1, 5, 2, 6, 7	sltmuldivwd 28150	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))
9	4, 8	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419   No csur 27618   <s cslt 27619   0_s c0s 27801   1_s c1s 27802   ·_s cmuls 28056   /_su cdivs 28137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27621  df-slt 27622  df-bday 27623  df-sle 27724  df-sslt 27760  df-scut 27762  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27820  df-old 27821  df-left 27823  df-right 27824  df-norec 27901  df-norec2 27912  df-adds 27923  df-negs 27980  df-subs 27981  df-muls 28057  df-divs 28138

This theorem is referenced by:  precsexlem11  28165  sltmuldiv2d  28178