Theorem sltmuldiv2wd 28265

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication. Weak version. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltdivmulwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltdivmulwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltdivmulwd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltdivmulwd.4	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
sltdivmulwd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )

Assertion

Ref	Expression
sltmuldiv2wd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem sltmuldiv2wd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltdivmulwd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltdivmulwd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulscomd 28204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
4	3	breq1d 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵))
5		sltdivmulwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
6		sltdivmulwd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
7		sltdivmulwd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No (𝐶 ·s 𝑥) = 1s )
8	1, 5, 2, 6, 7	sltmuldivwd 28264	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))
9	4, 8	bitr3d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   class class class wbr 5167  (class class class)co 7451   No csur 27722   <s cslt 27723   0_s c0s 27905   1_s c1s 27906   ·_s cmuls 28170   /_su cdivs 28251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-se 5654  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-1o 8525  df-2o 8526  df-nadd 8725  df-no 27725  df-slt 27726  df-bday 27727  df-sle 27828  df-sslt 27864  df-scut 27866  df-0s 27907  df-1s 27908  df-made 27924  df-old 27925  df-left 27927  df-right 27928  df-norec 28009  df-norec2 28020  df-adds 28031  df-negs 28091  df-subs 28092  df-muls 28171  df-divs 28252

This theorem is referenced by:  precsexlem11  28279  sltmuldiv2d  28292