Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addid2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: addid2 10830 without ax-mulcom 10608. (Contributed by SN, 23-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-addid2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10645 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 0cnd 10641 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 0 ∈ ℂ)
3 simp2l 1196 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
43recnd 10676 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-icn 10603 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → i ∈ ℂ)
7 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
87recnd 10676 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
96, 8mulcld 10668 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
102, 4, 9addassd 10670 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((0 + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
11 readdid2 39712 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1413oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((0 + 𝑥) + (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1510, 14eqtr3d 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
1716oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝐴) = (0 + (𝑥 + (i · 𝑦))))
1815, 17, 163eqtr4d 2843 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
19183exp 1116 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)))
2019rexlimdvv 3253 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 + 𝐴) = 𝐴))
211, 20mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  ℝcr 10543  0cc0 10544  ici 10546   + caddc 10547   · cmul 10549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-ltxr 10687  df-resub 39675 This theorem is referenced by:  sn-it0e0  39723  sn-negex12  39724  sn-addcand  39727  sn-subeu  39734  sn-0tie0  39747  cnreeu  39764
 Copyright terms: Public domain W3C validator