Theorem sn-itrere 43474

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-itrere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 43473	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
4		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
6		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
7	4, 6	sn-rereccld 43428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	mulassd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))))
10	4, 6	rerecidd 43430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅)) = 1)
11	10	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))) = (i · 1))
12		sn-it1ei 43410	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = i)
15		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
16	15, 7	remulcld 11296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) ∈ ℝ)
17	14, 16	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
18	17	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
19	1, 18	mtoi 202	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	19	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
21	20	necon4ad 2974	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
22		oveq2 7417	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
23		sn-it0e0 43389	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
24		0re 11267	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
26	22, 25	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
27	21, 26	impbid1 228	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158  ici 11159   · cmul 11162   /_ℝ crediv 43413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-2 12360  df-3 12361  df-resub 43339  df-rediv 43414

This theorem is used by:  cnreeu  43476