Theorem sn-itrere 42469

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-itrere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 42468	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11103	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
4		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
6		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
7	4, 6	sn-rereccld 42429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	mulassd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))))
10	4, 6	rerecid 42430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅)) = 1)
11	10	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))) = (i · 1))
12		sn-it1ei 42418	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = i)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
16	15, 7	remulcld 11180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) ∈ ℝ)
17	14, 16	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
19	1, 18	mtoi 199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
21	20	necon4ad 2944	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
22		oveq2 7377	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
23		sn-it0e0 42397	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
24		0re 11152	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
26	22, 25	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
27	21, 26	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049   /_ℝ crediv 42421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-2 12225  df-3 12226  df-resub 42347  df-rediv 42422

This theorem is referenced by:  cnreeu  42471