Theorem sn-itrere 42993

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-itrere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 42992	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11092	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
4		simpll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
6		simplr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
7	4, 6	sn-rereccld 42947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	mulassd 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))))
10	4, 6	rerecidd 42949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅)) = 1)
11	10	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))) = (i · 1))
12		sn-it1ei 42929	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = i)
15		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
16	15, 7	remulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) ∈ ℝ)
17	14, 16	eqeltrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
18	17	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
19	1, 18	mtoi 201	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	19	ex 414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
21	20	necon4ad 2955	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
22		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
23		sn-it0e0 42908	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
24		0re 11141	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
26	22, 25	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
27	21, 26	impbid1 227	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034  ici 11035   · cmul 11038   /_ℝ crediv 42932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-2 12239  df-3 12240  df-resub 42858  df-rediv 42933

This theorem is referenced by:  cnreeu  42995