Theorem sn-itrere 42476

Description: i times a real is real iff the real is zero. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-itrere	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem sn-itrere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-inelr 42475	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		ax-icn 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
4		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
6		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
7	4, 6	sn-rereccld 42436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (1 /ℝ 𝑅) ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	mulassd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))))
10	4, 6	rerecid 42437	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅)) = 1)
11	10	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · (𝑅 · (1 /ℝ 𝑅))) = (i · 1))
12		sn-it1ei 42425	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 1) = i
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 1) = i)
14	9, 11, 13	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) = i)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
16	15, 7	remulcld 11204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → ((i · 𝑅) · (1 /ℝ 𝑅)) ∈ ℝ)
17	14, 16	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (i · 𝑅) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
18	17	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
19	1, 18	mtoi 199	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ)
20	19	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (i · 𝑅) ∈ ℝ))
21	20	necon4ad 2944	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
22		oveq2 7395	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) = (i · 0))
23		sn-it0e0 42404	. . . 4 ⊢ (i · 0) = 0
24		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (i · 0) ∈ ℝ
26	22, 25	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (i · 𝑅) ∈ ℝ)
27	21, 26	impbid1 225	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((i · 𝑅) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   · cmul 11073   /_ℝ crediv 42428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-2 12249  df-3 12250  df-resub 42354  df-rediv 42429

This theorem is referenced by:  cnreeu  42478