Theorem hhssvs 30503

Description: The vector subtraction operation on a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssba.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssvs	⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)

Proof of Theorem hhssvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 30396	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
3		hhssba.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4		hhsssh2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
5	1, 4	hhsst 30497	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
7	4, 3	hhssba 30502	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
8	1	hhvs 30401	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
11	7, 8, 9, 10	sspm 29965	. . 3 ⊢ ((⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)) → ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)))
12	2, 6, 11	mp2an 691	. 2 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻))
13	12	eqcomi 2742	1 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4633   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  ℂcc 11104  NrmCVeccnv 29815   −_𝑣 cnsb 29820  SubSpcss 29952   +_ℎ cva 30151   ·_ℎ csm 30152  norm_ℎcno 30154   −_ℎ cmv 30156   S_ℋ csh 30159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30230  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvmulass 30238  ax-hvdistr1 30239  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-lm 22715  df-haus 22801  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-ssp 29953  df-hnorm 30199  df-hba 30200  df-hvsub 30202  df-hlim 30203  df-sh 30438  df-ch 30452  df-ch0 30484

This theorem is referenced by:  hhssvsf  30504  hhssims  30505  hhssmetdval  30508