Theorem subsdid 28164

Description: Distribution of surreal multiplication over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem subsdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsdid.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		addsdid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3, 2	subscld 28069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐶) ∈ No )
5	1, 2, 4	addsdid 28162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶))) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))))
6		pncan3s 28079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶)) = 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
9	5, 8	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
10	1, 3	mulscld 28141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	1, 2	mulscld 28141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
12	1, 4	mulscld 28141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) ∈ No )
13	10, 11, 12	subaddsd 28077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵)))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360   No csur 27617   +_s cadds 27965   -_s csubs 28026   ·_s cmuls 28112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8398  df-2o 8399  df-nadd 8595  df-no 27620  df-lts 27621  df-bday 27622  df-les 27723  df-slts 27764  df-cuts 27766  df-0s 27813  df-made 27833  df-old 27834  df-left 27836  df-right 27837  df-norec 27944  df-norec2 27955  df-adds 27966  df-negs 28027  df-subs 28028  df-muls 28113

This theorem is referenced by:  subsdird  28165  mulsasslem3  28171  mulsunif2lem  28175  ltmuls2  28177  zmulscld  28403  zseo  28428