Theorem subsdid 28574

Description: Distribution of surreal multiplication over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
addsdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
addsdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subsdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) −s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem subsdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		addsdid.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3		addsdid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
4	3, 2	subscld 28479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐶) ∈ No)
5	1, 2, 4	addsdid 28572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 −s 𝐶))) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶))))
6		pncan3s 28489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐶 +s (𝐵 −s 𝐶)) = 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s (𝐵 −s 𝐶)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 −s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
9	5, 8	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
10	1, 3	mulscld 28551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
11	1, 2	mulscld 28551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No)
12	1, 4	mulscld 28551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶)) ∈ No)
13	10, 11, 12	subaddsd 28487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) −s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶)) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵)))
14	9, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) −s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 −s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) −s (𝐴 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   +_s cadds 28375   −_s csubs 28436   ·_s cmuls 28522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-muls 28523

This theorem is used by:  subsdird  28575  mulsasslem3  28581  mulsunif2lem  28585  ltmuls2  28587  zmulscld  28813  zseo  28838