Theorem subsdid 27962

Description: Distribution of surreal multiplication over subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subsdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem subsdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsdid.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		addsdid.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3, 2	subscld 27877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐶) ∈ No )
5	1, 2, 4	addsdid 27960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶))) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))))
6		pncan3s 27885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶)) = 𝐵)
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶)) = 𝐵)
8	7	oveq2d 7417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐶 +s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
9	5, 8	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵))
10	1, 3	mulscld 27939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
11	1, 2	mulscld 27939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
12	1, 4	mulscld 27939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) ∈ No )
13	10, 11, 12	subaddsd 27883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶))) = (𝐴 ·s 𝐵)))
14	9, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)) = (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)))
15	14	eqcomd 2730	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 -s 𝐶)) = ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401   No csur 27477   +_s cadds 27780   -_s csubs 27837   ·_s cmuls 27910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27480  df-slt 27481  df-bday 27482  df-sle 27582  df-sslt 27618  df-scut 27620  df-0s 27661  df-made 27678  df-old 27679  df-left 27681  df-right 27682  df-norec 27759  df-norec2 27770  df-adds 27781  df-negs 27838  df-subs 27839  df-muls 27911

This theorem is referenced by:  subsdird  27963  mulsasslem3  27969  mulsunif2lem  27973  sltmul2  27975