Theorem addsdird 27592

Description: Distributive law for surreal numbers. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem addsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		addsdid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		addsdid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	1, 2, 3	addsdid 27591	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 +s 𝐵)) = ((𝐶 ·s 𝐴) +s (𝐶 ·s 𝐵)))
5	2, 3	addscld 27444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
6	5, 1	mulscomd 27576	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = (𝐶 ·s (𝐴 +s 𝐵)))
7	2, 1	mulscomd 27576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
8	3, 1	mulscomd 27576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐵))
9	7, 8	oveq12d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)) = ((𝐶 ·s 𝐴) +s (𝐶 ·s 𝐵)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7404   No csur 27123   +_s cadds 27423   ·_s cmuls 27542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27126  df-slt 27127  df-bday 27128  df-sle 27228  df-sslt 27263  df-scut 27265  df-0s 27305  df-made 27322  df-old 27323  df-left 27325  df-right 27326  df-norec 27402  df-norec2 27413  df-adds 27424  df-negs 27476  df-subs 27477  df-muls 27543

This theorem is referenced by:  mulnegs1d  27595  mulsasslem3  27600