Theorem addsdird 28525

Description: Distributive law for surreal numbers. Part of theorem 7 of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addsdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addsdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
addsdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem addsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		addsdid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		addsdid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	1, 2, 3	addsdid 28524	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 +s 𝐵)) = ((𝐶 ·s 𝐴) +s (𝐶 ·s 𝐵)))
5	2, 3	addscld 28348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
6	5, 1	mulscomd 28508	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = (𝐶 ·s (𝐴 +s 𝐵)))
7	2, 1	mulscomd 28508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
8	3, 1	mulscomd 28508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐵))
9	7, 8	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)) = ((𝐶 ·s 𝐴) +s (𝐶 ·s 𝐵)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s 𝐶) = ((𝐴 ·s 𝐶) +s (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412   No csur 27979   +_s cadds 28327   ·_s cmuls 28474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8460  df-2o 8461  df-nadd 8659  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-les 28084  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-made 28195  df-old 28196  df-left 28198  df-right 28199  df-norec 28306  df-norec2 28317  df-adds 28328  df-negs 28389  df-subs 28390  df-muls 28475

This theorem is used by:  mulnegs1d  28528  mulsasslem3  28533  divsdird  28603  zsoring  28777  no2times  28785  pw2divsdird  28816