Theorem supxr 13355

Description: The supremum of a set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
supxr	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem supxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥)
3		xrub 13354	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
4	3	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
5	4	adantrl 716	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))
6		xrltso 13183	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → < Or ℝ*)
8	7	eqsup 9496	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
9	8	mptru 1547	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
10	1, 2, 5, 9	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   Or wor 5591  supcsup 9480  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  supxr2  13356  supxrun  13358  supxrpnf  13360  supxrunb1  13361  supxrunb2  13362  xrsup0  13365