MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxr 13318
Description: The supremum of a set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
supxr (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem supxr
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simprl 770 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥)
3 xrub 13317 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)))
43biimpa 476 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
54adantrl 715 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
6 xrltso 13146 . . . . 5 < Or ℝ*
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
87eqsup 9473 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
98mptru 1541 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
101, 2, 5, 9syl3anc 1369 1 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  wss 3945   class class class wbr 5142   Or wor 5583  supcsup 9457  cr 11131  *cxr 11271   < clt 11272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471
This theorem is referenced by:  supxr2  13319  supxrun  13321  supxrpnf  13323  supxrunb1  13324  supxrunb2  13325  xrsup0  13328
  Copyright terms: Public domain W3C validator