MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrun 12701
Description: The supremum of the union of two sets of extended reals equals the largest of their suprema. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrun ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 4114 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
21biimpi 219 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
323adant3 1129 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12700 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
543ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 elun 4079 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
7 xrltso 12526 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
9 xrsupss 12694 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑦 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧 < 𝑤)))
108, 9supub 8911 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
11103ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
12 supxrcl 12700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
144ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 ssel2 3913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1615adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17 xrlelttr 12541 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
1918expdimp 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
2019con3d 155 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
2120exp41 438 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐴 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))))
2221com34 91 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) → (𝑥𝐴 → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))))
23223imp 1108 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))
2411, 23mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
257a1i 11 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
26 xrsupss 12694 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑦 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑤𝐵 𝑧 < 𝑤)))
2725, 26supub 8911 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐵 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
28273ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐵 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
2924, 28jaod 856 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
306, 29syl5bi 245 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
3130ralrimiv 3151 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)
32 rexr 10680 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
33 xrsupss 12694 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑦𝐵 𝑧 < 𝑦)))
3425, 33suplub 8912 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
3532, 34sylani 606 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
36 elun2 4107 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
3736anim1i 617 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦))
3837reximi2 3210 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦)
3935, 38syl6 35 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
4039expd 419 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦)))
4140ralrimiv 3151 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
42413ad2ant2 1131 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
43 supxr 12698 . 2 ((((𝐴𝐵) ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
443, 5, 31, 42, 43syl22anc 837 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  cun 3882  wss 3884   class class class wbr 5033   Or wor 5441  supcsup 8892  cr 10529  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866
This theorem is referenced by:  supxrmnf  12702  xpsdsval  22991
  Copyright terms: Public domain W3C validator