Theorem tendoipl2 39669

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendoi.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoipl2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃(𝐼‘𝑆)) = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoicl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendoicl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tendoicl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		tendoicl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
5	1, 2, 3, 4	tendoicl 39667	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)
6		tendoi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
7	1, 2, 3, 6	tendoplcom 39653	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃(𝐼‘𝑆)) = ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆))
8	5, 7	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃(𝐼‘𝑆)) = ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆))
9		tendoi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		tendoi.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
11	1, 2, 3, 4, 9, 6, 10	tendoipl 39668	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
12	8, 11	eqtrd 2773	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆𝑃(𝐼‘𝑆)) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  TEndoctendo 39623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626

This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  40292