MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskun 10810
Description: The union of two elements of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
tskun (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskun
StepHypRef Expression
1 uniprg 4924 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1128 . 2 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 simp1l 1195 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
4 simp1r 1196 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → Tr 𝑇)
5 tskpr 10794 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
653adant1r 1175 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
7 tskuni 10807 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
83, 4, 6, 7syl3anc 1369 . 2 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
92, 8eqeltrrd 2830 1 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cun 3945  {cpr 4631   cuni 4908  Tr wtr 5265  Tarskictsk 10772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-ac2 10487
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-smo 8367  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-har 9581  df-r1 9788  df-card 9963  df-aleph 9964  df-cf 9965  df-acn 9966  df-ac 10140  df-wina 10708  df-ina 10709  df-tsk 10773
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator