Theorem tskun 10778

Description: The union of two elements of a transitive Tarski class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tskun	⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 4916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
2	1	3adant1 1127	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		simp1l 1194	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
4		simp1r 1195	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → Tr 𝑇)
5		tskpr 10762	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
6	5	3adant1r 1174	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
7		tskuni 10775	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
9	2, 8	eqeltrrd 2826	1 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝐵 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939  {cpr 4623  ∪ cuni 4900  Tr wtr 5256  Tarskictsk 10740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-smo 8342  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-har 9549  df-r1 9756  df-card 9931  df-aleph 9932  df-cf 9933  df-acn 9934  df-ac 10108  df-wina 10676  df-ina 10677  df-tsk 10741

This theorem is referenced by: (None)