Theorem grutsk1 10734

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 10696.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk1	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Proof of Theorem grutsk1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → Tr 𝑇)
2		tskpw 10666	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
3	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4		tskpr 10683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
5	4	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
6	5	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
8		elmapg 8773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
10		tskurn 10702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦:𝑥⟶𝑇) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
11	10	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦:𝑥⟶𝑇 → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
12	9, 11	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
13	12	ralrimiv 3120	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
14	3, 7, 13	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
15	14	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
16		elgrug 10705	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
18	1, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  𝒫 cpw 4553  {cpr 4581  ∪ cuni 4861  Tr wtr 5202  ran crn 5624  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Tarskictsk 10661  Univcgru 10703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-oi 9421  df-har 9468  df-r1 9679  df-card 9854  df-aleph 9855  df-cf 9856  df-acn 9857  df-ac 10029  df-wina 10597  df-ina 10598  df-tsk 10662  df-gru 10704

This theorem is referenced by:  grutsk  10735  inagrud  44289