Theorem grutsk1 10781

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 10743.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk1	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Proof of Theorem grutsk1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → Tr 𝑇)
2		tskpw 10713	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
3	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4		tskpr 10730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
5	4	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
6	5	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
8		elmapg 8815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
10		tskurn 10749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦:𝑥⟶𝑇) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
11	10	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦:𝑥⟶𝑇 → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
12	9, 11	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
13	12	ralrimiv 3125	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
14	3, 7, 13	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
15	14	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
16		elgrug 10752	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
18	1, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  𝒫 cpw 4566  {cpr 4594  ∪ cuni 4874  Tr wtr 5217  ran crn 5642  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802  Tarskictsk 10708  Univcgru 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-smo 8318  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-har 9517  df-r1 9724  df-card 9899  df-aleph 9900  df-cf 9901  df-acn 9902  df-ac 10076  df-wina 10644  df-ina 10645  df-tsk 10709  df-gru 10751

This theorem is referenced by:  grutsk  10782  inagrud  44292