Theorem grutsk1 10861

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 10823.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk1	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Proof of Theorem grutsk1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → Tr 𝑇)
2		tskpw 10793	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
3	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4		tskpr 10810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
5	4	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
6	5	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
8		elmapg 8879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
10		tskurn 10829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦:𝑥⟶𝑇) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
11	10	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦:𝑥⟶𝑇 → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
12	9, 11	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
13	12	ralrimiv 3145	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
14	3, 7, 13	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
15	14	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
16		elgrug 10832	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
18	1, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628  ∪ cuni 4907  Tr wtr 5259  ran crn 5686  ⟶wf 6557  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Tarskictsk 10788  Univcgru 10830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-smo 8386  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-har 9597  df-r1 9804  df-card 9979  df-aleph 9980  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-tsk 10789  df-gru 10831

This theorem is referenced by:  grutsk  10862  inagrud  44315