Theorem grutsk1 10773

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 10735.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk1	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Proof of Theorem grutsk1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → Tr 𝑇)
2		tskpw 10705	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
3	2	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4		tskpr 10722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
5	4	3expa 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
6	5	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
7	6	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
8		elmapg 8814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
9	8	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
10		tskurn 10741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦:𝑥⟶𝑇) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
11	10	3expia 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦:𝑥⟶𝑇 → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
12	9, 11	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
13	12	ralrimiv 3152	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
14	3, 7, 13	3jca 1140	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
15	14	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
16		elgrug 10744	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
17	16	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
18	1, 15, 17	mpbir2and 723	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  𝒫 cpw 4552  {cpr 4581  ∪ cuni 4862  Tr wtr 5204  ran crn 5644  ⟶wf 6512  (class class class)co 7391   ↑_m cmap 8802  Tarskictsk 10700  Univcgru 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-ac2 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-smo 8311  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9452  df-har 9499  df-r1 9716  df-card 9891  df-aleph 9892  df-cf 9893  df-acn 9894  df-ac 10066  df-wina 10636  df-ina 10637  df-tsk 10701  df-gru 10743

This theorem is referenced by:  grutsk  10774  inagrud  44833