Theorem grutsk1 10435

Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes, part one: a transitive Tarski class is a universe. (The hard work is in tskuni 10397.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
grutsk1	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Proof of Theorem grutsk1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → Tr 𝑇)
2		tskpw 10367	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
3	2	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4		tskpr 10384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
5	4	3expa 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
6	5	ralrimiva 3105	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
8		elmapg 8521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) ↔ 𝑦:𝑥⟶𝑇))
10		tskurn 10403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦:𝑥⟶𝑇) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
11	10	3expia 1123	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦:𝑥⟶𝑇 → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
12	9, 11	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥) → ∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
13	12	ralrimiv 3104	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇)
14	3, 7, 13	3jca 1130	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
15	14	ralrimiva 3105	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))
16		elgrug 10406	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
17	16	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑇 ∈ Univ ↔ (Tr 𝑇 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑇 ↑m 𝑥)∪ ran 𝑦 ∈ 𝑇))))
18	1, 15, 17	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → 𝑇 ∈ Univ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  𝒫 cpw 4513  {cpr 4543  ∪ cuni 4819  Tr wtr 5161  ran crn 5552  ⟶wf 6376  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  Tarskictsk 10362  Univcgru 10404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-smo 8083  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-oi 9126  df-har 9173  df-r1 9380  df-card 9555  df-aleph 9556  df-cf 9557  df-acn 9558  df-ac 9730  df-wina 10298  df-ina 10299  df-tsk 10363  df-gru 10405

This theorem is referenced by:  grutsk  10436  inagrud  41587