MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwun 10052
Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tskwun ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Proof of Theorem tskwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → Tr 𝑇)
2 simp3 1131 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
3 tskuni 10051 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
433expa 1111 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
543adantl3 1161 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6 tskpw 10021 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
763ad2antl1 1178 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
8 tskpr 10038 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
983exp 1112 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1093ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1110imp31 418 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
1211ralrimiva 3149 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
135, 7, 123jca 1121 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
1413ralrimiva 3149 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
15 iswun 9972 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
16153ad2ant1 1126 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
171, 2, 14, 16mpbir3and 1335 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  c0 4211  𝒫 cpw 4453  {cpr 4474   cuni 4745  Tr wtr 5063  WUnicwun 9968  Tarskictsk 10016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-ac2 9731
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-smo 7835  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-oi 8820  df-har 8868  df-r1 9039  df-card 9214  df-aleph 9215  df-cf 9216  df-acn 9217  df-ac 9388  df-wina 9952  df-ina 9953  df-wun 9970  df-tsk 10017
This theorem is referenced by:  tskxp  10055  tskmap  10056
  Copyright terms: Public domain W3C validator