MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwun 10793
Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tskwun ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Proof of Theorem tskwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → Tr 𝑇)
2 simp3 1136 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
3 tskuni 10792 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
433expa 1116 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
543adantl3 1166 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6 tskpw 10762 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
763ad2antl1 1183 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
8 tskpr 10779 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
983exp 1117 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1093ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1110imp31 417 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
1211ralrimiva 3141 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
135, 7, 123jca 1126 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
1413ralrimiva 3141 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
15 iswun 10713 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
16153ad2ant1 1131 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
171, 2, 14, 16mpbir3and 1340 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  c0 4318  𝒫 cpw 4598  {cpr 4626   cuni 4903  Tr wtr 5259  WUnicwun 10709  Tarskictsk 10757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-ac2 10472
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-smo 8358  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9519  df-har 9566  df-r1 9773  df-card 9948  df-aleph 9949  df-cf 9950  df-acn 9951  df-ac 10125  df-wina 10693  df-ina 10694  df-wun 10711  df-tsk 10758
This theorem is referenced by:  tskxp  10796  tskmap  10797
  Copyright terms: Public domain W3C validator