MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwun 9858
Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tskwun ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Proof of Theorem tskwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1167 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → Tr 𝑇)
2 simp3 1168 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
3 tskuni 9857 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
433expa 1147 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
543adantl3 1209 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6 tskpw 9827 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
763ad2antl1 1236 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
8 tskpr 9844 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
983exp 1148 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1093ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1110imp31 408 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
1211ralrimiva 3112 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
135, 7, 123jca 1158 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
1413ralrimiva 3112 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
15 iswun 9778 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
16153ad2ant1 1163 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
171, 2, 14, 16mpbir3and 1442 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  c0 4078  𝒫 cpw 4314  {cpr 4335   cuni 4593  Tr wtr 4910  WUnicwun 9774  Tarskictsk 9822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-ac2 9537
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-smo 7646  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-oi 8621  df-har 8669  df-r1 8841  df-card 9015  df-aleph 9016  df-cf 9017  df-acn 9018  df-ac 9189  df-wina 9758  df-ina 9759  df-wun 9776  df-tsk 9823
This theorem is referenced by:  tskxp  9861  tskmap  9862
  Copyright terms: Public domain W3C validator