Theorem tskwun 10707

Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tskwun	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Proof of Theorem tskwun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → Tr 𝑇)
2		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
3		tskuni 10706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
4	3	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
5	4	3adantl3 1170	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
6		tskpw 10676	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
7	6	3ad2antl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
8		tskpr 10693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
9	8	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
11	10	imp31 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
12	11	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
13	5, 7, 12	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
14	13	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
15		iswun 10627	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
16	15	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
17	1, 2, 14, 16	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {cpr 4569  ∪ cuni 4850  Tr wtr 5192  WUnicwun 10623  Tarskictsk 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-smo 8286  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-oi 9425  df-har 9472  df-r1 9688  df-card 9863  df-aleph 9864  df-cf 9865  df-acn 9866  df-ac 10038  df-wina 10607  df-ina 10608  df-wun 10625  df-tsk 10672

This theorem is referenced by:  tskxp  10710  tskmap  10711