Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ubelsupr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubelsupr 44958
Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
ubelsupr ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
32ne0d 4348 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
41, 2sseldd 3996 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
5 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈)
6 brralrspcev 5208 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
81, 3, 73jca 1127 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
9 suprub 12227 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑈𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
108, 2, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
11 suprleub 12232 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈))
128, 4, 11syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈))
135, 12mpbird 257 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
14 suprcl 12226 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
158, 14syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
164, 15letri3d 11401 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
1710, 13, 16mpbir2and 713 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  supcsup 9478  cr 11152   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  cncmpmax  44970
  Copyright terms: Public domain W3C validator