Theorem ubelsupr 43475

Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ubelsupr	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
3	2	ne0d 4331	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2	sseldd 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
5		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈)
6		brralrspcev 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8	1, 3, 7	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
9		suprub 12157	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
10	8, 2, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
11		suprleub 12162	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
12	8, 4, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
13	5, 12	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
14		suprcl 12156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	8, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	4, 15	letri3d 11338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
17	10, 13, 16	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318   class class class wbr 5141  supcsup 9417  ℝcr 11091   < clt 11230   ≤ cle 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429

This theorem is referenced by:  cncmpmax  43487