Theorem ubelsupr 44920

Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ubelsupr	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
3	2	ne0d 4365	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
5		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈)
6		brralrspcev 5226	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8	1, 3, 7	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
9		suprub 12256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
10	8, 2, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
11		suprleub 12261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
12	8, 4, 11	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
13	5, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
14		suprcl 12255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	8, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	4, 15	letri3d 11432	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
17	10, 13, 16	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  supcsup 9509  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  cncmpmax  44932