Theorem ubelsupr 45409

Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ubelsupr	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
3	2	ne0d 4296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
5		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈)
6		brralrspcev 5160	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
8	1, 3, 7	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
9		suprub 12117	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
10	8, 2, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
11		suprleub 12122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
12	8, 4, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈))
13	5, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
14		suprcl 12116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	8, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	4, 15	letri3d 11289	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
17	10, 13, 16	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  supcsup 9357  ℝcr 11039   < clt 11180   ≤ cle 11181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381

This theorem is referenced by:  cncmpmax  45421