Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre1 44279
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1 β„²π‘₯𝐡
rfcnpre1.2 β„²π‘₯𝐹
rfcnpre1.3 β„²π‘₯πœ‘
rfcnpre1.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre1.5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre1.6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
rfcnpre1.7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐹
32nfcnv 5872 . . . . 5 β„²π‘₯◑𝐹
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐡
5 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯(,)
6 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯+∞
74, 5, 6nfov 7435 . . . . 5 β„²π‘₯(𝐡(,)+∞)
83, 7nfima 6061 . . . 4 β„²π‘₯(◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞))
9 nfrab1 3445 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cntop1 23099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = βˆͺ 𝐽
14 istopon 22769 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
1512, 13, 14sylanblrc 589 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
17 retopon 24635 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
1816, 17eqeltri 2823 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
19 iscn 23094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2015, 18, 19sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2110, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
2221simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 elioopnf 13426 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726baibd 539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2823, 27syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2928pm5.32da 578 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
30 ffn 6711 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
31 elpreima 7053 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
3222, 30, 313syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
33 rabid 3446 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
3529, 32, 343bitr4d 311 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}))
361, 8, 9, 35eqrd 3996 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)})
37 rfcnpre1.6 . . 3 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
3836, 37eqtr4di 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = 𝐴)
39 iooretop 24637 . . . 4 (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4039, 16eleqtrri 2826 . . 3 (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾
41 cnima 23124 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4210, 40, 41sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4338, 42eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877  βˆ€wral 3055  {crab 3426  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  (,)cioo 13330  topGenctg 17392  Topctop 22750  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13334  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cn 23086
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  45334
  Copyright terms: Public domain W3C validator