Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre1 43688
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1 β„²π‘₯𝐡
rfcnpre1.2 β„²π‘₯𝐹
rfcnpre1.3 β„²π‘₯πœ‘
rfcnpre1.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre1.5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre1.6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
rfcnpre1.7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐹
32nfcnv 5876 . . . . 5 β„²π‘₯◑𝐹
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐡
5 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯(,)
6 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯+∞
74, 5, 6nfov 7435 . . . . 5 β„²π‘₯(𝐡(,)+∞)
83, 7nfima 6065 . . . 4 β„²π‘₯(◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞))
9 nfrab1 3451 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cntop1 22735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = βˆͺ 𝐽
14 istopon 22405 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
1512, 13, 14sylanblrc 590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
17 retopon 24271 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
1816, 17eqeltri 2829 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
19 iscn 22730 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2015, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2110, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
2221simpld 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 elioopnf 13416 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726baibd 540 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2823, 27syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2928pm5.32da 579 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
30 ffn 6714 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
31 elpreima 7056 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
3222, 30, 313syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
33 rabid 3452 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
3529, 32, 343bitr4d 310 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}))
361, 8, 9, 35eqrd 4000 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)})
37 rfcnpre1.6 . . 3 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
3836, 37eqtr4di 2790 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = 𝐴)
39 iooretop 24273 . . . 4 (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4039, 16eleqtrri 2832 . . 3 (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾
41 cnima 22760 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4210, 40, 41sylancl 586 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4338, 42eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  {crab 3432  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320  topGenctg 17379  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-ioo 13324  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  44748
  Copyright terms: Public domain W3C validator