Theorem rfcnpre1 45013

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre1.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre1.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
rfcnpre1.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre1.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5842	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		rfcnpre1.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
7	4, 5, 6	nfov 7417	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵(,)+∞)
8	3, 7	nfima 6039	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9		nfrab1 3426	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
10		rfcnpre1.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		cntop1 23127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		rfcnpre1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14		istopon 22799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
15	12, 13, 14	sylanblrc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		rfcnpre1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17		retopon 24651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18	16, 17	eqeltri 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19		iscn 23122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
20	15, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
21	10, 20	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
22	21	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24		rfcnpre1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		elioopnf 13404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	baibd 539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
28	23, 27	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
29	28	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
30		ffn 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31		elpreima 7030	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
32	22, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33		rabid 3427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
35	29, 32, 34	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}))
36	1, 8, 9, 35	eqrd 3966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)})
37		rfcnpre1.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
38	36, 37	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39		iooretop 24653	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
40	39, 16	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41		cnima 23152	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
42	10, 40, 41	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
43	38, 42	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  {crab 3405  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306  topGenctg 17400  Topctop 22780  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cn 23114

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  46044