Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre1 40815
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1 𝑥𝐵
rfcnpre1.2 𝑥𝐹
rfcnpre1.3 𝑥𝜑
rfcnpre1.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre1.6 𝐴 = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
rfcnpre1.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5635 . . . . 5 𝑥𝐹
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
5 nfcv 2949 . . . . . 6 𝑥(,)
6 nfcv 2949 . . . . . 6 𝑥+∞
74, 5, 6nfov 7046 . . . . 5 𝑥(𝐵(,)+∞)
83, 7nfima 5814 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9 nfrab1 3344 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cntop1 21532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = 𝐽
14 istopon 21204 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝐽))
1512, 13, 14sylanblrc 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17 retopon 23055 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
1816, 17eqeltri 2879 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19 iscn 21527 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
2015, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
2110, 20mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2221simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2322ffvelrnda 6716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
24 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 elioopnf 12681 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹𝑥))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹𝑥))))
2726baibd 540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹𝑥)))
2823, 27syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹𝑥)))
2928pm5.32da 579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥))))
30 ffn 6382 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31 elpreima 6693 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
3222, 30, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33 rabid 3337 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥))))
3529, 32, 343bitr4d 312 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}))
361, 8, 9, 35eqrd 3908 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)})
37 rfcnpre1.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
3836, 37syl6eqr 2849 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39 iooretop 23057 . . . 4 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
4039, 16eleqtrri 2882 . . 3 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41 cnima 21557 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4210, 40, 41sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4338, 42eqeltrrd 2884 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wnf 1765  wcel 2081  wnfc 2933  wral 3105  {crab 3109   cuni 4745   class class class wbr 4962  ccnv 5442  ran crn 5444  cima 5446   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  (,)cioo 12588  topGenctg 16540  Topctop 21185  TopOnctopon 21202   Cn ccn 21516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-ioo 12592  df-topgen 16546  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cn 21519
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  41873
  Copyright terms: Public domain W3C validator