Theorem rfcnpre1 45861

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre1.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre1.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
rfcnpre1.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre1.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5862	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		rfcnpre1.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
7	4, 5, 6	nfov 7447	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵(,)+∞)
8	3, 7	nfima 6068	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9		nfrab1 3434	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
10		rfcnpre1.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		cntop1 23471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		rfcnpre1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14		istopon 23143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
15	12, 13, 14	sylanblrc 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		rfcnpre1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17		retopon 24995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18	16, 17	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19		iscn 23466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
20	15, 18, 19	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
21	10, 20	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
22	21	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24		rfcnpre1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		elioopnf 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	baibd 549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
28	23, 27	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
29	28	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
30		ffn 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31		elpreima 7054	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
32	22, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33		rabid 3435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
35	29, 32, 34	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}))
36	1, 8, 9, 35	eqrd 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)})
37		rfcnpre1.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
38	36, 37	eqtr4di 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39		iooretop 24997	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
40	39, 16	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41		cnima 23496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
42	10, 40, 41	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
43	38, 42	eqeltrrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  {crab 3414  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  (,)cioo 13402  topGenctg 17528  Topctop 23124  TopOnctopon 23141   Cn ccn 23455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-ioo 13406  df-topgen 17534  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cn 23458

This theorem is used by:  stoweidlem46  46882