Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre1 44430
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1 β„²π‘₯𝐡
rfcnpre1.2 β„²π‘₯𝐹
rfcnpre1.3 β„²π‘₯πœ‘
rfcnpre1.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnpre1.5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
rfcnpre1.6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
rfcnpre1.7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐹
32nfcnv 5885 . . . . 5 β„²π‘₯◑𝐹
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6 β„²π‘₯𝐡
5 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯(,)
6 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯+∞
74, 5, 6nfov 7456 . . . . 5 β„²π‘₯(𝐡(,)+∞)
83, 7nfima 6076 . . . 4 β„²π‘₯(◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞))
9 nfrab1 3450 . . . 4 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cntop1 23172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = βˆͺ 𝐽
14 istopon 22842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝐽))
1512, 13, 14sylanblrc 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
17 retopon 24708 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
1816, 17eqeltri 2825 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
19 iscn 23167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2015, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽)))
2110, 20mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ 𝑦) ∈ 𝐽))
2221simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2322ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
25 elioopnf 13462 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
2726baibd 538 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2823, 27syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞) ↔ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
2928pm5.32da 577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
30 ffn 6727 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
31 elpreima 7072 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
3222, 30, 313syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝐡(,)+∞))))
33 rabid 3451 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)))
3433a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯))))
3529, 32, 343bitr4d 310 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}))
361, 8, 9, 35eqrd 4001 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)})
37 rfcnpre1.6 . . 3 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐡 < (πΉβ€˜π‘₯)}
3836, 37eqtr4di 2786 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) = 𝐴)
39 iooretop 24710 . . . 4 (𝐡(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4039, 16eleqtrri 2828 . . 3 (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾
41 cnima 23197 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐡(,)+∞) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4210, 40, 41sylancl 584 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐡(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4338, 42eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2879  βˆ€wral 3058  {crab 3430  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  +∞cpnf 11285  β„*cxr 11287   < clt 11288  (,)cioo 13366  topGenctg 17428  Topctop 22823  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-ioo 13370  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cn 23159
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  45481
  Copyright terms: Public domain W3C validator