Theorem rfcnpre1 46129

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre1.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre1.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
rfcnpre1.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre1.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5855	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		rfcnpre1.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
7	4, 5, 6	nfov 7450	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵(,)+∞)
8	3, 7	nfima 6063	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9		nfrab1 3431	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
10		rfcnpre1.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		cntop1 23563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		rfcnpre1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14		istopon 23235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
15	12, 13, 14	sylanblrc 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		rfcnpre1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17		retopon 25087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18	16, 17	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19		iscn 23558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
20	15, 18, 19	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
21	10, 20	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
22	21	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24		rfcnpre1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		elioopnf 13577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	baibd 549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
28	23, 27	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
29	28	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
30		ffn 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31		elpreima 7057	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
32	22, 30, 31	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33		rabid 3432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
35	29, 32, 34	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}))
36	1, 8, 9, 35	eqrd 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)})
37		rfcnpre1.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
38	36, 37	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39		iooretop 25089	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
40	39, 16	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41		cnima 23588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
42	10, 40, 41	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
43	38, 42	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  {crab 3412  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  (,)cioo 13479  topGenctg 17613  Topctop 23216  TopOnctopon 23233   Cn ccn 23547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-ioo 13483  df-topgen 17619  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cn 23550

This theorem is used by:  stoweidlem46  47149