Theorem cncmpmax 44932

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncmpmax.1	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
cncmpmax.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cncmpmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cncmpmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cncmpmax.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cncmpmax	⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑇   𝜑,𝑡   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Proof of Theorem cncmpmax

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncmpmax.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
2		cncmpmax.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		cncmpmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cncmpmax.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cncmpmax.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 25010	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
7		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
8	2, 1, 7, 4	fcnre 44925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
9	8	frnd 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11	8	ffund 6751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
14	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	fdmd 6757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → dom 𝐹 = 𝑇)
16	13, 15	eleqtrrd 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7110	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
19	18	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
20		ffn 6747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
21		fvelrnb 6982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
22	8, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
23	22	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
24		df-rex 3077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
26	25	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
27		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
28		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
29		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑠 ∈ 𝑇)
30		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
31	30	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	31	rspccva 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	28, 29, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	27, 33	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
35	26, 34	exlimddv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
36	35	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
37	36	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		ubelsupr 44920	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
39	10, 19, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
40	39	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
41	40, 19	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
42	10, 41	sseldd 4009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
43		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
44	43, 32	sylancom 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
45	40	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
46	44, 45	breqtrrd 5194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
47	46	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
48	30	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
49	48	cbvralvw 3243	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
50	47, 49	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
51	41, 42, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	6, 51	rexlimddv 3167	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ran crn 5701  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407  topGenctg 17497   Cn ccn 23253  Compccmp 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353

This theorem is referenced by:  stoweidlem36  45957