Theorem cncmpmax 44018

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncmpmax.1	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
cncmpmax.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cncmpmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cncmpmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cncmpmax.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cncmpmax	⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑇   𝜑,𝑡   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Proof of Theorem cncmpmax

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncmpmax.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
2		cncmpmax.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		cncmpmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cncmpmax.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cncmpmax.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 24699	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
7		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
8	2, 1, 7, 4	fcnre 44011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
9	8	frnd 6725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11	8	ffund 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
14	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	fdmd 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → dom 𝐹 = 𝑇)
16	13, 15	eleqtrrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
19	18	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
20		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
21		fvelrnb 6952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
22	8, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
23	22	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
24		df-rex 3071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
25	23, 24	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
26	25	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
27		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
28		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
29		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑠 ∈ 𝑇)
30		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
31	30	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	31	rspccva 3611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	28, 29, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	27, 33	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
35	26, 34	exlimddv 1938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
36	35	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
37	36	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		ubelsupr 44006	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
39	10, 19, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
40	39	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
41	40, 19	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
42	10, 41	sseldd 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
43		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
44	43, 32	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
45	40	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
46	44, 45	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
47	46	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
48	30	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
49	48	cbvralvw 3234	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
50	47, 49	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
51	41, 42, 50	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	6, 51	rexlimddv 3161	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  ℝcr 11111   < clt 11252   ≤ cle 11253  (,)cioo 13328  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Compccmp 23110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048

This theorem is referenced by:  stoweidlem36  45051