Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncmpmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmpmax 41497
 Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1 𝑇 = 𝐽
cncmpmax.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cncmpmax.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
cncmpmax.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cncmpmax.5 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cncmpmax (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑇   𝜑,𝑡   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . 3 𝑇 = 𝐽
2 cncmpmax.2 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 cncmpmax.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 cncmpmax.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 cncmpmax.5 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
61, 2, 3, 4, 5evth 23553 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
82, 1, 7, 4fcnre 41490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
98frnd 6502 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
118ffund 6499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → Fun 𝐹)
13 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
148adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
1514fdmd 6504 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑇) → dom 𝐹 = 𝑇)
1613, 15eleqtrrd 2919 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 6825 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
1812, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
1918adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
20 ffn 6495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
21 fvelrnb 6707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦))
228, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦))
2322biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦)
24 df-rex 3138 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦 ↔ ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
2523, 24sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
2625adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
27 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → (𝐹𝑠) = 𝑦)
28 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
29 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → 𝑠𝑇)
30 fveq2 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3130breq1d 5057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥)))
3231rspccva 3607 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
3328, 29, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
3427, 33eqbrtrrd 5071 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
3526, 34exlimddv 1937 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
3635ralrimiva 3176 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
3736adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
38 ubelsupr 41485 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
3910, 19, 37, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4039eqcomd 2830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹𝑥))
4140, 19eqeltrd 2916 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4210, 41sseldd 3952 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
43 simplrr 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
4443, 32sylancom 591 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
4540adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹𝑥))
4644, 45breqtrrd 5075 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4746ralrimiva 3176 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑠𝑇 (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4830breq1d 5057 . . . . 5 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
4948cbvralvw 3434 . . . 4 (∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ∀𝑠𝑇 (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5047, 49sylibr 237 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5141, 42, 503jca 1125 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
526, 51rexlimddv 3283 1 (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∀wral 3132  ∃wrex 3133   ⊆ wss 3918  ∅c0 4274  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5047  dom cdm 5536  ran crn 5537  Fun wfun 6330   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  supcsup 8888  ℝcr 10521   < clt 10660   ≤ cle 10661  (,)cioo 12724  topGenctg 16700   Cn ccn 21818  Compccmp 21980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-q 12335  df-rp 12376  df-xneg 12493  df-xadd 12494  df-xmul 12495  df-ioo 12728  df-icc 12731  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-hom 16578  df-cco 16579  df-rest 16685  df-topn 16686  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-topgen 16706  df-pt 16707  df-prds 16710  df-xrs 16764  df-qtop 16769  df-imas 16770  df-xps 16772  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-mulg 18214  df-cntz 18436  df-cmn 18897  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526  df-mopn 20527  df-cnfld 20532  df-top 21488  df-topon 21505  df-topsp 21527  df-bases 21540  df-cn 21821  df-cnp 21822  df-cmp 21981  df-tx 22156  df-hmeo 22349  df-xms 22916  df-ms 22917  df-tms 22918 This theorem is referenced by:  stoweidlem36  42520
 Copyright terms: Public domain W3C validator