Theorem cncmpmax 39775

Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncmpmax.1	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
cncmpmax.2	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cncmpmax.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
cncmpmax.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cncmpmax.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
cncmpmax	⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑇   𝜑,𝑡   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Proof of Theorem cncmpmax

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncmpmax.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
2		cncmpmax.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		cncmpmax.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		cncmpmax.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		cncmpmax.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 23036	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
7		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
8	2, 1, 7, 4	fcnre 39768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
9	8	frnd 6229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
10	9	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11	8	ffund 6226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
12	11	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → Fun 𝐹)
13		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
14	8	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	fdmd 6231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → dom 𝐹 = 𝑇)
16	13, 15	eleqtrrd 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 6541	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
18	12, 16, 17	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
19	18	adantrr 708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
20		ffn 6222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
21		fvelrnb 6431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
22	8, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
23	22	biimpa 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
24		df-rex 3060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) = 𝑦 ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
25	23, 24	sylib 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
26	25	adantlr 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦))
27		simprr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) = 𝑦)
28		simpllr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
29		simprl 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑠 ∈ 𝑇)
30		fveq2 6374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘𝑠))
31	30	breq1d 4818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥)))
32	31	rspccva 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
33	28, 29, 32	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
34	27, 33	eqbrtrrd 4832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑠) = 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
35	26, 34	exlimddv 2030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
36	35	ralrimiva 3112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
37	36	adantrl 707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		ubelsupr 39763	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
39	10, 19, 37, 38	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (𝐹‘𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
40	39	eqcomd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
41	40, 19	eqeltrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
42	10, 41	sseldd 3761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
43		simplrr 796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))
44	43, 32	sylancom 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ (𝐹‘𝑥))
45	40	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹‘𝑥))
46	44, 45	breqtrrd 4836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
47	46	ralrimiva 3112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
48	30	breq1d 4818	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
49	48	cbvralv 3318	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
50	47, 49	sylibr 225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
51	41, 42, 50	3jca 1158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑥))) → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
52	6, 51	rexlimddv 3181	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652  ∃wex 1874   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2936  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ⊆ wss 3731  ∅c0 4078  ∪ cuni 4593   class class class wbr 4808  dom cdm 5276  ran crn 5277  Fun wfun 6061   Fn wfn 6062  ⟶wf 6063  ‘cfv 6067  (class class class)co 6841  supcsup 8552  ℝcr 10187   < clt 10327   ≤ cle 10328  (,)cioo 12376  topGenctg 16365   Cn ccn 21307  Compccmp 21468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-mulf 10268

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-cmp 21469  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405

This theorem is referenced by:  stoweidlem36  40822