Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsr1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsr1p 24771
 Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsq1p.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
dvdsq1p.d = (∥r𝑃)
dvdsq1p.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
dvdsr1p.z 0 = (0g𝑃)
dvdsr1p.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdsr1p ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr1p
StepHypRef Expression
1 dvdsq1p.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20886 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4 ringgrp 19304 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
6 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
7 eqid 2824 . . . . 5 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
8 dvdsq1p.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 dvdsq1p.c . . . . 5 𝐶 = (Unic1p𝑅)
107, 1, 8, 9q1pcl 24765 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
111, 8, 9uc1pcl 24753 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
12113ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
13 eqid 2824 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
148, 13ringcl 19316 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
153, 10, 12, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
16 dvdsr1p.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
17 eqid 2824 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
188, 16, 17grpsubeq0 18187 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
195, 6, 15, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
20 dvdsr1p.e . . . . 5 𝐸 = (rem1p𝑅)
2120, 1, 8, 7, 13, 17r1pval 24766 . . . 4 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
226, 12, 21syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
2322eqeq1d 2826 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝐸𝐺) = 0 ↔ (𝐹(-g𝑃)((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = 0 ))
24 dvdsq1p.d . . 3 = (∥r𝑃)
251, 24, 8, 9, 13, 7dvdsq1p 24770 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
2619, 23, 253bitr4rd 315 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐺 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  .rcmulr 16568  0gc0g 16715  Grpcgrp 18105  -gcsg 18107  Ringcrg 19299  ∥rcdsr 19393  Poly1cpl1 20815  Unic1pcuc1p 24736  quot1pcq1p 24737  rem1pcr1p 24738 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-rlreg 20058  df-cnfld 20101  df-psr 20603  df-mvr 20604  df-mpl 20605  df-opsr 20607  df-psr1 20818  df-vr1 20819  df-ply1 20820  df-coe1 20821  df-mdeg 24665  df-deg1 24666  df-uc1p 24741  df-q1p 24742  df-r1p 24743 This theorem is referenced by:  facth1  24774  ig1pdvds  24786
 Copyright terms: Public domain W3C validator