Theorem dvdsr1p 26067

Description: Divisibility in a polynomial ring in terms of the remainder. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsq1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
dvdsq1p.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
dvdsq1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
dvdsq1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
dvdsr1p.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
dvdsr1p.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsr1p	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))

Proof of Theorem dvdsr1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsq1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22130	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
4		ringgrp 20123	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
8		dvdsq1p.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		dvdsq1p.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
10	7, 1, 8, 9	q1pcl 26060	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
11	1, 8, 9	uc1pcl 26047	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
14	8, 13	ringcl 20135	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
15	3, 10, 12, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
16		dvdsr1p.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
18	8, 16, 17	grpsubeq0 18905	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = 0 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
19	5, 6, 15, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = 0 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
20		dvdsr1p.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
21	20, 1, 8, 7, 13, 17	r1pval 26061	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
22	6, 12, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
23	22	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐸𝐺) = 0 ↔ (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) = 0 ))
24		dvdsq1p.d	. . 3 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑃)
25	1, 24, 8, 9, 13, 7	dvdsq1p 26066	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
26	19, 23, 25	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐺 ∥ 𝐹 ↔ (𝐹𝐸𝐺) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  Ringcrg 20118  ∥_rcdsr 20239  Poly₁cpl1 22059  Unic_1pcuc1p 26030  quot_1pcq1p 26031  rem_1pcr1p 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-cnfld 21262  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-uc1p 26035  df-q1p 26036  df-r1p 26037

This theorem is referenced by:  facth1  26070  ig1pdvds  26083  algextdeglem6  33689