Theorem r1pcl 24438

Description: Closure of remainder following division by a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pval.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pcl.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
r1pcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem r1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		r1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		r1pval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		r1pcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
5	2, 3, 4	uc1pcl 24424	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
6	5	3ad2ant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		r1pval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
8		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
9		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
11	7, 2, 3, 8, 9, 10	r1pval 24437	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
12	1, 6, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
13	2	ply1ring 20103	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Ring)
15		ringgrp 18996	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑃 ∈ Grp)
17	8, 2, 3, 4	q1pcl 24436	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
18	3, 9	ringcl 19005	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
19	14, 17, 6, 18	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
20	3, 10	grpsubcl 17940	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ 𝐵)
21	16, 1, 19, 20	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)) ∈ 𝐵)
22	12, 21	eqeltrd 2885	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  ._rcmulr 16399  Grpcgrp 17865  -_gcsg 17867  Ringcrg 18991  Poly₁cpl1 20032  Unic_1pcuc1p 24407  quot_1pcq1p 24408  rem_1pcr1p 24409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-rlreg 19749  df-psr 19828  df-mvr 19829  df-mpl 19830  df-opsr 19832  df-psr1 20035  df-vr1 20036  df-ply1 20037  df-coe1 20038  df-cnfld 20232  df-mdeg 24336  df-deg1 24337  df-uc1p 24412  df-q1p 24413  df-r1p 24414

This theorem is referenced by:  ply1rem  24444