Theorem r1pdeglt 25304

Description: The remainder has a degree smaller than the divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pval.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
r1pcl.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
r1pdeglt.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
r1pdeglt	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐷‘(𝐹𝐸𝐺)) < (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem r1pdeglt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		r1pval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		r1pval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		r1pcl.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
5	2, 3, 4	uc1pcl 25289	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
6	5	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
7		r1pval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
9		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
11	7, 2, 3, 8, 9, 10	r1pval 25302	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
12	1, 6, 11	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝐸𝐺) = (𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
13	12	fveq2d 6772	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐷‘(𝐹𝐸𝐺)) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))))
14		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)
15		r1pdeglt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
16	8, 2, 3, 15, 10, 9, 4	q1peqb 25300	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
17	14, 16	mpbiri 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
18	17	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19	13, 18	eqbrtrd 5100	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐷‘(𝐹𝐸𝐺)) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   < clt 10993  Basecbs 16893  ._rcmulr 16944  -_gcsg 18560  Ringcrg 19764  Poly₁cpl1 21329   deg₁ cdg1 25197  Unic_1pcuc1p 25272  quot_1pcq1p 25273  rem_1pcr1p 25274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-oppr 19843  df-dvdsr 19864  df-unit 19865  df-invr 19895  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-rlreg 20535  df-cnfld 20579  df-psr 21093  df-mvr 21094  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-vr1 21333  df-ply1 21334  df-coe1 21335  df-mdeg 25198  df-deg1 25199  df-uc1p 25277  df-q1p 25278  df-r1p 25279

This theorem is referenced by:  ply1rem  25309  ig1pdvds  25322