Theorem upbdrech2 45566

Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech2.c	⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
upbdrech2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2		iftrue 4485	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3		0red 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	iffalsed 4490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
8	6	neqned 2939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9		upbdrech2.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		upbdrech2.bd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
14	8, 10, 12, 13	upbdrech 45563	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
17	5, 16	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
18	1, 17	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19		rzal 4447	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22		iffalse 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
23	1, 22	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
24	23	breq2d 5110	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
25	24	ralbidv 3159	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
27	21, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
28	20, 27	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
29	18, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4285  ifcif 4479   class class class wbr 5098  supcsup 9343  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  ssfiunibd  45567