Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upbdrech2 45320
Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
upbdrech2.c 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
upbdrech2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2
StepHypRef Expression
1 upbdrech2.c . . 3 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2 iftrue 4531 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3 0red 11264 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76iffalsed 4536 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
86neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9 upbdrech2.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 upbdrech2.bd . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
13 eqid 2737 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
148, 10, 12, 13upbdrech 45317 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
1514simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
167, 15eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
175, 16pm2.61dan 813 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
181, 17eqeltrid 2845 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
19 rzal 4509 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2019adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2114simprd 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22 iffalse 4534 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
231, 22eqtrid 2789 . . . . . . 7 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2423breq2d 5155 . . . . . 6 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐶𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2524ralbidv 3178 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2625adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2721, 26mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2820, 27pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2918, 28jca 511 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  ssfiunibd  45321
  Copyright terms: Public domain W3C validator