Theorem upbdrech2 42354

Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech2.c	⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
upbdrech2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2		iftrue 4430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3		0red 10696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2853	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	iffalsed 4435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
8	6	neqned 2959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9		upbdrech2.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		upbdrech2.bd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
13		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
14	8, 10, 12, 13	upbdrech 42351	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
15	14	simpld 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrd 2853	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
17	5, 16	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
18	1, 17	eqeltrid 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19		rzal 4405	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
20	19	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
21	14	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22		iffalse 4433	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
23	1, 22	syl5eq 2806	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
24	23	breq2d 5049	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
25	24	ralbidv 3127	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
26	25	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
27	21, 26	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
28	20, 27	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
29	18, 28	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {cab 2736  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  ∅c0 4228  ifcif 4424   class class class wbr 5037  supcsup 8951  ℝcr 10588  0cc0 10589   < clt 10727   ≤ cle 10728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4803  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-id 5435  df-po 5448  df-so 5449  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-sup 8953  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925

This theorem is referenced by:  ssfiunibd  42355