Theorem upbdrech2 45223

Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech2.c	⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
upbdrech2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2		iftrue 4554	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3		0red 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	iffalsed 4559	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
8	6	neqned 2953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9		upbdrech2.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		upbdrech2.bd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
13		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
14	8, 10, 12, 13	upbdrech 45220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
17	5, 16	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
18	1, 17	eqeltrid 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19		rzal 4532	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22		iffalse 4557	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
23	1, 22	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
24	23	breq2d 5178	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
25	24	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
27	21, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
28	20, 27	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
29	18, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  ifcif 4548   class class class wbr 5166  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  ssfiunibd  45224