Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  upbdrech2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upbdrech2 45259
Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
upbdrech2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
upbdrech2.c 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
upbdrech2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2
StepHypRef Expression
1 upbdrech2.c . . 3 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2 iftrue 4537 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3 0red 11262 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
76iffalsed 4542 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
86neqned 2945 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9 upbdrech2.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
109adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 upbdrech2.bd . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
13 eqid 2735 . . . . . . 7 sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
148, 10, 12, 13upbdrech 45256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
1514simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
167, 15eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
175, 16pm2.61dan 813 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
181, 17eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
19 rzal 4515 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2019adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2114simprd 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22 iffalse 4540 . . . . . . . 8 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
231, 22eqtrid 2787 . . . . . . 7 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2423breq2d 5160 . . . . . 6 𝐴 = ∅ → (𝐵𝐶𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2524ralbidv 3176 . . . . 5 𝐴 = ∅ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2625adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
2721, 26mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2820, 27pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
2918, 28jca 511 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wrex 3068  c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  ssfiunibd  45260
  Copyright terms: Public domain W3C validator