Theorem upbdrech2 45741

Description: Choice of an upper bound for a possibly empty bunded set (image set version). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
upbdrech2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
upbdrech2.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
upbdrech2.c	⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
upbdrech2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem upbdrech2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upbdrech2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
2		iftrue 4472	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = 0)
3		0red 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ¬ 𝐴 = ∅)
7	6	iffalsed 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
8	6	neqned 2939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
9		upbdrech2.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		upbdrech2.bd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )
14	8, 10, 12, 13	upbdrech 45738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16	7, 15	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
17	5, 16	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
18	1, 17	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
19		rzal 4434	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
21	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
22		iffalse 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → if(𝐴 = ∅, 0, sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
23	1, 22	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐶 = sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < ))
24	23	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
25	24	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ sup({𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 = 𝐵}, ℝ, < )))
27	21, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
28	20, 27	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
29	18, 28	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∅c0 4273  ifcif 4466   class class class wbr 5085  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  ssfiunibd  45742