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Theorem vdwapun 16846
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷)))

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12453 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
2 vdwapval 16845 . . . . 5 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
31, 2syl3an1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
4 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
54nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
7 pncan 11407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
98oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0...((𝐾 + 1) − 1)) = (0...𝐾))
109eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (0...𝐾)))
11 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
124, 11eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
13 elfzp12 13520 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾))))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾))))
1510, 14bitrd 278 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾))))
1615anbi1d 630 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
17 andir 1007 . . . . . . 7 (((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
1816, 17bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))))
1918exbidv 1924 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛(𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ∃𝑛((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))))
20 df-rex 3074 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1)) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
21 19.43 1885 . . . . . 6 (∃𝑛((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))) ↔ (∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
2221bicomi 223 . . . . 5 ((∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))) ↔ ∃𝑛((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
2319, 20, 223bitr4g 313 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ (0...((𝐾 + 1) − 1))𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ (∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))))
243, 23bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) ↔ (∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))))
25 nncn 12161 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
26253ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
2726mul02d 11353 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 · 𝐷) = 0)
2827oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + (0 · 𝐷)) = (𝐴 + 0))
29 nncn 12161 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
30293ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3130addid1d 11355 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3228, 31eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + (0 · 𝐷)) = 𝐴)
3332eqeq2d 2747 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝐴 + (0 · 𝐷)) ↔ 𝑥 = 𝐴))
34 c0ex 11149 . . . . . . 7 0 ∈ V
35 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝐷) = (0 · 𝐷))
3635oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + (0 · 𝐷)))
3736eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ 𝑥 = (𝐴 + (0 · 𝐷))))
3834, 37ceqsexv 3494 . . . . . 6 (∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ 𝑥 = (𝐴 + (0 · 𝐷)))
39 velsn 4602 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
4033, 38, 393bitr4g 313 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ 𝑥 ∈ {𝐴}))
41 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾))
42 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
4342oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...𝐾) = (1...𝐾)
4441, 43eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝑛 ∈ (1...𝐾))
45 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
464adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4746nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
48 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) → 𝑛 ∈ ℤ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℤ)
50 fzsubel 13477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑛 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑛 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝐾 − 1))))
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 ∈ (1...𝐾) ↔ (𝑛 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝐾 − 1))))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝐾 − 1)))
53 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
5453oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 1)...(𝐾 − 1)) = (0...(𝐾 − 1))
5552, 54eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 − 1) ∈ (0...(𝐾 − 1)))
5649zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝑛 ∈ ℂ)
57 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
5826adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝐷 ∈ ℂ)
5956, 57, 58subdird 11612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ((𝑛 − 1) · 𝐷) = ((𝑛 · 𝐷) − (1 · 𝐷)))
6058mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
6160oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ((𝑛 · 𝐷) − (1 · 𝐷)) = ((𝑛 · 𝐷) − 𝐷))
6259, 61eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ((𝑛 − 1) · 𝐷) = ((𝑛 · 𝐷) − 𝐷))
6362oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝐷 + ((𝑛 − 1) · 𝐷)) = (𝐷 + ((𝑛 · 𝐷) − 𝐷)))
6456, 58mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ ℂ)
6558, 64pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝐷 + ((𝑛 · 𝐷) − 𝐷)) = (𝑛 · 𝐷))
6663, 65eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 · 𝐷) = (𝐷 + ((𝑛 − 1) · 𝐷)))
6766oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝐷 + ((𝑛 − 1) · 𝐷))))
6830adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → 𝐴 ∈ ℂ)
69 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
7056, 6, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
7170, 58mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ((𝑛 − 1) · 𝐷) ∈ ℂ)
7268, 58, 71addassd 11177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ((𝐴 + 𝐷) + ((𝑛 − 1) · 𝐷)) = (𝐴 + (𝐷 + ((𝑛 − 1) · 𝐷))))
7367, 72eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + ((𝑛 − 1) · 𝐷)))
74 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 − 1) → (𝑚 · 𝐷) = ((𝑛 − 1) · 𝐷))
7574oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 − 1) → ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + ((𝑛 − 1) · 𝐷)))
7675rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 − 1) ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + ((𝑛 − 1) · 𝐷))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)))
7755, 73, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)))
78 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) → (𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) ↔ (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
7978rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
8077, 79syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾)) → (𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
8180expimpd 454 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
8281exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
83 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
84 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
854adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8685nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
87 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
89 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
91 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
92 fzaddel 13475 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))))
9384, 88, 90, 91, 92syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ↔ (𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))))
9483, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
9585nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℂ)
96 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9795, 6, 96sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
9897oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((0 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) = ((0 + 1)...𝐾))
9994, 98eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...𝐾))
10030adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
10126adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝐷 ∈ ℂ)
10290zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 𝑚 ∈ ℂ)
103102, 101mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑚 · 𝐷) ∈ ℂ)
104100, 101, 103addassd 11177 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝐷 + (𝑚 · 𝐷))))
105 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
106102, 105, 101adddird 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑚 + 1) · 𝐷) = ((𝑚 · 𝐷) + (1 · 𝐷)))
107101, 103addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐷 + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝑚 · 𝐷) + 𝐷))
108101mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
109108oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑚 · 𝐷) + (1 · 𝐷)) = ((𝑚 · 𝐷) + 𝐷))
110107, 109eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐷 + (𝑚 · 𝐷)) = ((𝑚 · 𝐷) + (1 · 𝐷)))
111106, 110eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝑚 + 1) · 𝐷) = (𝐷 + (𝑚 · 𝐷)))
112111oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷)) = (𝐴 + (𝐷 + (𝑚 · 𝐷))))
113104, 112eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷)))
114 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 + 1) ∈ V
115 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ↔ (𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...𝐾)))
116 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑚 + 1) · 𝐷))
117116oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) = (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷)))
118117eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷))))
119115, 118anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ((𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷)))))
120114, 119spcev 3565 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 + 1) ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + ((𝑚 + 1) · 𝐷))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
12199, 113, 120syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
122 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) → (𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))))
123122anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) → ((𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ (𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
124123exbidv 1924 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) → (∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
125121, 124syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
126125rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))))
12782, 126impbid 211 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
128 nnaddcl 12176 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
1291283adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ)
130 vdwapval 16845 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
131129, 130syld3an2 1411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))𝑥 = ((𝐴 + 𝐷) + (𝑚 · 𝐷))))
132127, 131bitr4d 281 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷)))
13340, 132orbi12d 917 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))) ↔ (𝑥 ∈ {𝐴} ∨ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷))))
134 elun 4108 . . . 4 (𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ {𝐴} ∨ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷)))
135133, 134bitr4di 288 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((∃𝑛(𝑛 = 0 ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷))) ∨ ∃𝑛(𝑛 ∈ ((0 + 1)...𝐾) ∧ 𝑥 = (𝐴 + (𝑛 · 𝐷)))) ↔ 𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷))))
13624, 135bitrd 278 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷))))
137136eqrdv 2734 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝐷) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + 𝐷)(AP‘𝐾)𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3073  cun 3908  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  APcvdwa 16837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-vdwap 16840
This theorem is referenced by:  vdwapid1  16847  vdwap1  16849  vdwlem1  16853  vdwlem5  16857  vdwlem8  16860  vdwlem12  16864
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