MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapun 16851
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) = ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12458 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
2 vdwapval 16850 . . . . 5 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
31, 2syl3an1 1164 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
4 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
54nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
6 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
7 pncan 11412 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
98oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐พ))
109eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘› โˆˆ (0...๐พ)))
11 nn0uz 12810 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
124, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
13 elfzp12 13526 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐พ) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐พ) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1510, 14bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1615anbi1d 631 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
17 andir 1008 . . . . . . 7 (((๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
1816, 17bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
1918exbidv 1925 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
20 df-rex 3071 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
21 19.43 1886 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
2221bicomi 223 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
2319, 20, 223bitr4g 314 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
243, 23bitrd 279 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
25 nncn 12166 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
26253ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2726mul02d 11358 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (0 ยท ๐ท) = 0)
2827oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + (0 ยท ๐ท)) = (๐ด + 0))
29 nncn 12166 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30293ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3130addid1d 11360 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
3228, 31eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + (0 ยท ๐ท)) = ๐ด)
3332eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ฅ = ๐ด))
34 c0ex 11154 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
35 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = (0 ยท ๐ท))
3635oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘› = 0 โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + (0 ยท ๐ท)))
3736eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท))))
3834, 37ceqsexv 3493 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท)))
39 velsn 4603 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โ†” ๐‘ฅ = ๐ด)
4033, 38, 393bitr4g 314 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ {๐ด}))
41 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))
42 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
4342oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...๐พ) = (1...๐พ)
4441, 43eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...๐พ))
45 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
464adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4746nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
48 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
50 fzsubel 13483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1))))
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1))))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1)))
53 1m1e0 12230 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆ’ 1) = 0
5453oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1)) = (0...(๐พ โˆ’ 1))
5552, 54eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)))
5649zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
57 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5826adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58subdird 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ (1 ยท ๐ท)))
6058mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
6160oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ (1 ยท ๐ท)) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท))
6259, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท))
6362oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)) = (๐ท + ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท)))
6456, 58mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6558, 64pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ท + ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท)) = (๐‘› ยท ๐ท))
6663, 65eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
6766oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))))
6830adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
69 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7056, 6, 69sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7170, 58mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7268, 58, 71addassd 11182 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))))
7367, 72eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
74 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (๐‘š ยท ๐ท) = ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))
7574oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
7675rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โˆง (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)))
7755, 73, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)))
78 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
7978rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8077, 79syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8180expimpd 455 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8281exlimdv 1937 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
83 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)))
84 0zd 12516 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
854adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8685nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
87 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
89 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
9089adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
91 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
92 fzaddel 13481 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1))))
9384, 88, 90, 91, 92syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1))))
9483, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
9585nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
96 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
9795, 6, 96sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
9897oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((0 + 1)...๐พ))
9994, 98eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))
10030adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10126adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10290zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
103102, 101mulcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
104100, 101, 103addassd 11182 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท))))
105 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
106102, 105, 101adddird 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐ท) = ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)))
107101, 103addcomd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + ๐ท))
108101mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
109108oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + ๐ท))
110107, 109eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)))
111106, 110eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐ท) = (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)))
112111oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท))))
113104, 112eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))
114 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š + 1) โˆˆ V
115 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)))
116 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))
117116oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))
118117eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))))
119115, 118anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))))
120114, 119spcev 3564 . . . . . . . . . 10 (((๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
12199, 113, 120syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
122 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
123122anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
124123exbidv 1925 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
125121, 124syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
126125rexlimdva 3149 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
12782, 126impbid 211 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
128 nnaddcl 12181 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„•)
1291283adant1 1131 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„•)
130 vdwapval 16850 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
131129, 130syld3an2 1412 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
132127, 131bitr4d 282 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
13340, 132orbi12d 918 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
134 elun 4109 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
135133, 134bitr4di 289 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
13624, 135bitrd 279 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
137136eqrdv 2731 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) = ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3909  {csn 4587  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  APcvdwa 16842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-vdwap 16845
This theorem is referenced by:  vdwapid1  16852  vdwap1  16854  vdwlem1  16858  vdwlem5  16862  vdwlem8  16865  vdwlem12  16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator