MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwapun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwapun 16913
Description: Remove the first element of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwapun ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) = ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))

Proof of Theorem vdwapun
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12513 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•0)
2 vdwapval 16912 . . . . 5 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
31, 2syl3an1 1160 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
4 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
54nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
6 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
7 pncan 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
98oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐พ))
109eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘› โˆˆ (0...๐พ)))
11 nn0uz 12865 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
124, 11eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
13 elfzp12 13583 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐พ) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐พ) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1510, 14bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))))
1615anbi1d 629 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
17 andir 1005 . . . . . . 7 (((๐‘› = 0 โˆจ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
1816, 17bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
1918exbidv 1916 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
20 df-rex 3065 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
21 19.43 1877 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
2221bicomi 223 . . . . 5 ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” โˆƒ๐‘›((๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
2319, 20, 223bitr4g 314 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...((๐พ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
243, 23bitrd 279 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))))
25 nncn 12221 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
26253ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2726mul02d 11413 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (0 ยท ๐ท) = 0)
2827oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + (0 ยท ๐ท)) = (๐ด + 0))
29 nncn 12221 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30293ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3130addridd 11415 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + 0) = ๐ด)
3228, 31eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + (0 ยท ๐ท)) = ๐ด)
3332eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ฅ = ๐ด))
34 c0ex 11209 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
35 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = (0 ยท ๐ท))
3635oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘› = 0 โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + (0 ยท ๐ท)))
3736eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท))))
3834, 37ceqsexv 3520 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ = (๐ด + (0 ยท ๐ท)))
39 velsn 4639 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โ†” ๐‘ฅ = ๐ด)
4033, 38, 393bitr4g 314 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ {๐ด}))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))
42 0p1e1 12335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
4342oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...๐พ) = (1...๐พ)
4441, 43eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (1...๐พ))
45 1zzd 12594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
464adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4746nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
48 elfzelz 13504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
50 fzsubel 13540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1))))
5145, 47, 49, 45, 50syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...๐พ) โ†” (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1))))
5244, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1)))
53 1m1e0 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆ’ 1) = 0
5453oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆ’ 1)...(๐พ โˆ’ 1)) = (0...(๐พ โˆ’ 1))
5552, 54eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)))
5649zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
57 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5826adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5956, 57, 58subdird 11672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ (1 ยท ๐ท)))
6058mullidd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
6160oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ (1 ยท ๐ท)) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท))
6259, 61eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) = ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท))
6362oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)) = (๐ท + ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท)))
6456, 58mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6558, 64pncan3d 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ท + ((๐‘› ยท ๐ท) โˆ’ ๐ท)) = (๐‘› ยท ๐ท))
6663, 65eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
6766oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))))
6830adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
69 subcl 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7056, 6, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7170, 58mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
7268, 58, 71addassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))))
7367, 72eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
74 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ (๐‘š ยท ๐ท) = ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))
7574oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท)))
7675rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โˆง (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)))
7755, 73, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)))
78 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
7978rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8077, 79syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8180expimpd 453 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
8281exlimdv 1928 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)))
84 0zd 12571 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
854adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8685nn0zd 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
87 peano2zm 12606 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
89 elfzelz 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
91 1zzd 12594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
92 fzaddel 13538 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1))))
9384, 88, 90, 91, 92syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1))))
9483, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1)))
9585nn0cnd 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
96 npcan 11470 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
9795, 6, 96sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
9897oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((0 + 1)...((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((0 + 1)...๐พ))
9994, 98eleqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ))
10030adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10290zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
103102, 101mulcld 11235 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
104100, 101, 103addassd 11237 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท))))
105 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
106102, 105, 101adddird 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐ท) = ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)))
107101, 103addcomd 11417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + ๐ท))
108101mullidd 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (1 ยท ๐ท) = ๐ท)
109108oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + ๐ท))
110107, 109eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)) = ((๐‘š ยท ๐ท) + (1 ยท ๐ท)))
111106, 110eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐ท) = (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท)))
112111oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐ท + (๐‘š ยท ๐ท))))
113104, 112eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))
114 ovex 7437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š + 1) โˆˆ V
115 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โ†” (๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ)))
116 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐ท) = ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))
117116oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))
118117eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))))
119115, 118anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ((๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท)))))
120114, 119spcev 3590 . . . . . . . . . 10 (((๐‘š + 1) โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + ((๐‘š + 1) ยท ๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
12199, 113, 120syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
122 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)) โ†” ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))))
123122anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” (๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
124123exbidv 1916 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
125121, 124syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
126125rexlimdva 3149 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))))
12782, 126impbid 211 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
128 nnaddcl 12236 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„•)
1291283adant1 1127 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„•)
130 vdwapval 16912 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด + ๐ท) โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
131129, 130syld3an2 1408 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐ด + ๐ท) + (๐‘š ยท ๐ท))))
132127, 131bitr4d 282 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
13340, 132orbi12d 915 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
134 elun 4143 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐ด} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
135133, 134bitr4di 289 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ ((โˆƒ๐‘›(๐‘› = 0 โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท))) โˆจ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ ((0 + 1)...๐พ) โˆง ๐‘ฅ = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ท)))) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
13624, 135bitrd 279 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท))))
137136eqrdv 2724 1 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ท โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด(APโ€˜(๐พ + 1))๐ท) = ({๐ด} โˆช ((๐ด + ๐ท)(APโ€˜๐พ)๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โˆช cun 3941  {csn 4623  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  โ„คโ‰ฅcuz 12823  ...cfz 13487  APcvdwa 16904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-vdwap 16907
This theorem is referenced by:  vdwapid1  16914  vdwap1  16916  vdwlem1  16920  vdwlem5  16924  vdwlem8  16927  vdwlem12  16931
  Copyright terms: Public domain W3C validator