MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem1 15978
Description: Lemma for vdw 15991. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
vdwlem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem1.f (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem1.d (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem1.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
vdwlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 vdwlem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
3 vdwlem1.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
42, 3ffvelrnd 6554 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ ℕ)
5 vdwlem1.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11602 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7 vdwapun 15971 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
86, 1, 4, 7syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
91nnred 11295 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 nnuz 11928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
13 eluzfz1 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
152, 14ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℕ)
161, 15nnaddcld 11328 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℕ)
1716nnred 11295 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℝ)
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
1918nnred 11295 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2015nnrpd 12073 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℝ+)
219, 20ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < (𝐴 + (𝐷‘1)))
229, 17, 21ltled 10443 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐷‘1)))
23 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → (𝐷𝑖) = (𝐷‘1))
2423oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘1)))
2524eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) ↔ (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
26 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
2726r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
28 cnvimass 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ dom 𝐹
29 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
3028, 29fssdm 6241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3227, 31sstrd 3773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (1...𝑊))
33 nnm1nn0 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
35 nn0uz 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
3634, 35syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0))
37 eluzfz1 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
402ffvelrnda 6553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℕ)
4140nncnd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
4241mul02d 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (0 · (𝐷𝑖)) = 0)
4342oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0))
441adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4544, 40nnaddcld 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ)
4645nncnd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
4746addid1d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0) = (𝐴 + (𝐷𝑖)))
4843, 47eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
49 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 0 → (𝑚 · (𝐷𝑖)) = (0 · (𝐷𝑖)))
5049oveq2d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
5150rspceeqv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
5239, 48, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
535adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
55 vdwapval 15970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5654, 45, 40, 55syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5752, 56mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)))
5832, 57sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
5958ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
6025, 59, 14rspcdva 3468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊))
61 elfzle2 12557 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
639, 17, 19, 22, 62letrd 10452 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑊)
641, 11syl6eleq 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
6518nnzd 11733 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
66 elfz5 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
6764, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
6863, 67mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
69 eqidd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))
70 ffn 6225 . . . . . . . . 9 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅𝐹 Fn (1...𝑊))
71 fniniseg 6532 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7229, 70, 713syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7368, 69, 72mpbir2and 704 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
7473snssd 4496 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
75 fveq2 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝐼))
7675oveq2d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷𝐼)))
7776, 75oveq12d 6864 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)))
7876fveq2d 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖))) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
7978sneqd 4348 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8079imaeq2d 5650 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8177, 80sseq12d 3796 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ↔ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
8281, 26, 3rspcdva 3468 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
83 vdwlem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8483sneqd 4348 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8584imaeq2d 5650 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8682, 85sseqtr4d 3804 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
8774, 86unssd 3953 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
888, 87eqsstrd 3801 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
89 oveq1 6853 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑))
9089sseq1d 3794 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
91 oveq2 6854 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐼) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)))
9291sseq1d 3794 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐼) → ((𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
9390, 92rspc2ev 3477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ ∧ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
941, 4, 88, 93syl3anc 1490 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
95 fvex 6392 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
96 sneq 4346 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐹𝐴) → {𝑐} = {(𝐹𝐴)})
9796imaeq2d 5650 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (𝐹 “ {𝑐}) = (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
9897sseq2d 3795 . . . . 5 (𝑐 = (𝐹𝐴) → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
99982rexbidv 3204 . . . 4 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
10095, 99spcev 3453 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
10194, 100syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
102 ovex 6878 . . 3 (1...𝑊) ∈ V
103 peano2nn0 11584 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
1046, 103syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
105102, 104, 29vdwmc 15975 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
106101, 105mpbird 248 1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cun 3732  wss 3734  {csn 4336   class class class wbr 4811  ccnv 5278  cima 5282   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  cle 10333  cmin 10524  cn 11278  0cn0 11542  cz 11628  cuz 11891  ...cfz 12538  APcvdwa 15962   MonoAP cvdwm 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-vdwap 15965  df-vdwmc 15966
This theorem is referenced by:  vdwlem6  15983
  Copyright terms: Public domain W3C validator