MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem1 16914
Description: Lemma for vdw 16927. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
vdwlem1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„•)
vdwlem1.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...π‘Š)βŸΆπ‘…)
vdwlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
vdwlem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
vdwlem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
vdwlem1.s (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}))
vdwlem1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem1 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   πœ‘,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,π‘Š

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables π‘Ž 𝑐 𝑑 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
2 vdwlem1.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
3 vdwlem1.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (1...𝑀))
42, 3ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΌ) ∈ β„•)
5 vdwlem1.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
65nnnn0d 12532 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
7 vdwapun 16907 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ (π·β€˜πΌ) ∈ β„•) β†’ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)) = ({𝐴} βˆͺ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ))))
86, 1, 4, 7syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)) = ({𝐴} βˆͺ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ))))
91nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
11 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1210, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
13 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
152, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜1) ∈ β„•)
161, 15nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (π·β€˜1)) ∈ β„•)
1716nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (π·β€˜1)) ∈ ℝ)
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„•)
1918nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
2015nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜1) ∈ ℝ+)
219, 20ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (𝐴 + (π·β€˜1)))
229, 17, 21ltled 11362 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ (𝐴 + (π·β€˜1)))
23 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ (π·β€˜π‘–) = (π·β€˜1))
2423oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = (𝐴 + (π·β€˜1)))
2524eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š) ↔ (𝐴 + (π·β€˜1)) ∈ (1...π‘Š)))
26 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}))
2726r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}))
28 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}) βŠ† dom 𝐹
29 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...π‘Š)βŸΆπ‘…)
3028, 29fssdm 6738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}) βŠ† (1...π‘Š))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}) βŠ† (1...π‘Š))
3227, 31sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) βŠ† (1...π‘Š))
33 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ β„• β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
35 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3634, 35eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
37 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)))
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)))
402ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ β„•)
4140nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4241mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (0 Β· (π·β€˜π‘–)) = 0)
4342oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (0 Β· (π·β€˜π‘–))) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + 0))
441adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
4544, 40nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ β„•)
4645nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
4746addridd 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + 0) = (𝐴 + (π·β€˜π‘–)))
4843, 47eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (0 Β· (π·β€˜π‘–))))
49 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· (π·β€˜π‘–)) = (0 Β· (π·β€˜π‘–)))
5049oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 0 β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π·β€˜π‘–))) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (0 Β· (π·β€˜π‘–))))
5150rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (0 Β· (π·β€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π·β€˜π‘–))))
5239, 48, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π·β€˜π‘–))))
535adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5453nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
55 vdwapval 16906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ β„• ∧ (π·β€˜π‘–) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π·β€˜π‘–)))))
5654, 45, 40, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π·β€˜π‘–)))))
5752, 56mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)))
5832, 57sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š))
5958ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (π·β€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š))
6025, 59, 14rspcdva 3614 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (π·β€˜1)) ∈ (1...π‘Š))
61 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + (π·β€˜1)) ∈ (1...π‘Š) β†’ (𝐴 + (π·β€˜1)) ≀ π‘Š)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (π·β€˜1)) ≀ π‘Š)
639, 17, 19, 22, 62letrd 11371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ π‘Š)
641, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6518nnzd 12585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„€)
66 elfz5 13493 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘Š ∈ β„€) β†’ (𝐴 ∈ (1...π‘Š) ↔ 𝐴 ≀ π‘Š))
6764, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (1...π‘Š) ↔ 𝐴 ≀ π‘Š))
6863, 67mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...π‘Š))
69 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
70 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (𝐹:(1...π‘Š)βŸΆπ‘… β†’ 𝐹 Fn (1...π‘Š))
71 fniniseg 7062 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (1...π‘Š) β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))))
7229, 70, 713syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))))
7368, 69, 72mpbir2and 712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
7473snssd 4813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
75 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π·β€˜π‘–) = (π·β€˜πΌ))
7675oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝐴 + (π·β€˜π‘–)) = (𝐴 + (π·β€˜πΌ)))
7776, 75oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ ((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) = ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ)))
7876fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–))) = (πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ))))
7978sneqd 4641 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 β†’ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))} = {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))})
8079imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}) = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))}))
8177, 80sseq12d 4016 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (((𝐴 + (π·β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜π‘–)))}) ↔ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))})))
8281, 26, 3rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))}))
83 vdwlem1.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ))))
8483sneqd 4641 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {(πΉβ€˜π΄)} = {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))})
8584imaeq2d 6060 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜(𝐴 + (π·β€˜πΌ)))}))
8682, 85sseqtrrd 4024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
8774, 86unssd 4187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({𝐴} βˆͺ ((𝐴 + (π·β€˜πΌ))(APβ€˜πΎ)(π·β€˜πΌ))) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
888, 87eqsstrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
89 oveq1 7416 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑))
9089sseq1d 4014 . . . . 5 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)})))
91 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑑 = (π·β€˜πΌ) β†’ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)))
9291sseq1d 4014 . . . . 5 (𝑑 = (π·β€˜πΌ) β†’ ((𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) ↔ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)})))
9390, 92rspc2ev 3625 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„• ∧ (π·β€˜πΌ) ∈ β„• ∧ (𝐴(APβ€˜(𝐾 + 1))(π·β€˜πΌ)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)})) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
941, 4, 88, 93syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
95 fvex 6905 . . . 4 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
96 sneq 4639 . . . . . . 7 (𝑐 = (πΉβ€˜π΄) β†’ {𝑐} = {(πΉβ€˜π΄)})
9796imaeq2d 6060 . . . . . 6 (𝑐 = (πΉβ€˜π΄) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑐}) = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}))
9897sseq2d 4015 . . . . 5 (𝑐 = (πΉβ€˜π΄) β†’ ((π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)})))
99982rexbidv 3220 . . . 4 (𝑐 = (πΉβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑐}) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)})))
10095, 99spcev 3597 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π΄)}) β†’ βˆƒπ‘βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
10194, 100syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑐}))
102 ovex 7442 . . 3 (1...π‘Š) ∈ V
103 peano2nn0 12512 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„•0)
1046, 103syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) ∈ β„•0)
105102, 104, 29vdwmc 16911 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ βˆƒπ‘βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ β„• (π‘Ž(APβ€˜(𝐾 + 1))𝑑) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑐})))
106101, 105mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  APcvdwa 16898   MonoAP cvdwm 16899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-vdwap 16901  df-vdwmc 16902
This theorem is referenced by:  vdwlem6  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator