MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem1 16910
Description: Lemma for vdw 16923. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
vdwlem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem1.f (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem1.d (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem1.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
vdwlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 vdwlem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
3 vdwlem1.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
42, 3ffvelcdmd 7084 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ ℕ)
5 vdwlem1.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12528 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7 vdwapun 16903 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
86, 1, 4, 7syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
91nnred 12223 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
13 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
152, 14ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℕ)
161, 15nnaddcld 12260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℕ)
1716nnred 12223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℝ)
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
1918nnred 12223 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2015nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℝ+)
219, 20ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < (𝐴 + (𝐷‘1)))
229, 17, 21ltled 11358 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐷‘1)))
23 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → (𝐷𝑖) = (𝐷‘1))
2423oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘1)))
2524eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) ↔ (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
26 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
2726r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
28 cnvimass 6077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ dom 𝐹
29 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
3028, 29fssdm 6734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3227, 31sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (1...𝑊))
33 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
35 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
3634, 35eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0))
37 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
402ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℕ)
4140nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
4241mul02d 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (0 · (𝐷𝑖)) = 0)
4342oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0))
441adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4544, 40nnaddcld 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ)
4645nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
4746addridd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0) = (𝐴 + (𝐷𝑖)))
4843, 47eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
49 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 0 → (𝑚 · (𝐷𝑖)) = (0 · (𝐷𝑖)))
5049oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
5150rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
5239, 48, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
55 vdwapval 16902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5654, 45, 40, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5752, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)))
5832, 57sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
5958ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
6025, 59, 14rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊))
61 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
639, 17, 19, 22, 62letrd 11367 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑊)
641, 11eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
6518nnzd 12581 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
66 elfz5 13489 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
6764, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
6863, 67mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
69 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))
70 ffn 6714 . . . . . . . . 9 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅𝐹 Fn (1...𝑊))
71 fniniseg 7058 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7229, 70, 713syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7368, 69, 72mpbir2and 711 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
7473snssd 4811 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
75 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝐼))
7675oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷𝐼)))
7776, 75oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)))
7876fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖))) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
7978sneqd 4639 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8079imaeq2d 6057 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8177, 80sseq12d 4014 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ↔ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
8281, 26, 3rspcdva 3613 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
83 vdwlem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8483sneqd 4639 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8584imaeq2d 6057 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8682, 85sseqtrrd 4022 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
8774, 86unssd 4185 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
888, 87eqsstrd 4019 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
89 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑))
9089sseq1d 4012 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
91 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐼) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)))
9291sseq1d 4012 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐼) → ((𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
9390, 92rspc2ev 3623 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ ∧ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
941, 4, 88, 93syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
95 fvex 6901 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
96 sneq 4637 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐹𝐴) → {𝑐} = {(𝐹𝐴)})
9796imaeq2d 6057 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (𝐹 “ {𝑐}) = (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
9897sseq2d 4013 . . . . 5 (𝑐 = (𝐹𝐴) → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
99982rexbidv 3219 . . . 4 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
10095, 99spcev 3596 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
10194, 100syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
102 ovex 7438 . . 3 (1...𝑊) ∈ V
103 peano2nn0 12508 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
1046, 103syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
105102, 104, 29vdwmc 16907 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
106101, 105mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  cun 3945  wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  ccnv 5674  cima 5678   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  APcvdwa 16894   MonoAP cvdwm 16895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-vdwap 16897  df-vdwmc 16898
This theorem is referenced by:  vdwlem6  16915
  Copyright terms: Public domain W3C validator