Theorem vdwlem1 17074

Description: Lemma for vdw 17087. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
vdwlem1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem1.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}))
vdwlem1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼))))

Assertion

Ref	Expression
vdwlem1	⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem vdwlem1

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		vdwlem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
3		vdwlem1.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1...𝑀))
4	2, 3	ffvelcdmd 7079	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐼) ∈ ℕ)
5		vdwlem1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
7		vdwapun 17067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷‘𝐼) ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼))))
8	6, 1, 4, 7	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼))))
9	1	nnred 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10		vdwlem1.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11		nnuz 12927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12	10, 11	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzfz1 13586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
15	2, 14	ffvelcdmd 7079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℕ)
16	1, 15	nnaddcld 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℝ)
18		vdwlem1.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℕ)
19	18	nnred 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
20	15	nnrpd 13085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℝ+)
21	9, 20	ltaddrpd 13120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + (𝐷‘1)))
22	9, 17, 21	ltled 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐷‘1)))
23		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐷‘𝑖) = (𝐷‘1))
24	23	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘1)))
25	24	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ (1...𝑊) ↔ (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
26		vdwlem1.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}))
27	26	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}))
28		cnvimass 6078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}) ⊆ dom 𝐹
29		vdwlem1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
30	28, 29	fssdm 6723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
32	27, 31	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ⊆ (1...𝑊))
33		nnm1nn0 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
34	5, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
35		nn0uz 12926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
36	34, 35	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
37		eluzfz1 13586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
40	2	ffvelcdmda 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (0 · (𝐷‘𝑖)) = 0)
43	42	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (0 · (𝐷‘𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + 0))
44	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ ℕ)
45	44, 40	nnaddcld 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ℕ)
46	45	nncnd 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ℂ)
47	46	addridd 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + 0) = (𝐴 + (𝐷‘𝑖)))
48	43, 47	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (0 · (𝐷‘𝑖))))
49		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · (𝐷‘𝑖)) = (0 · (𝐷‘𝑖)))
50	49	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (𝑚 · (𝐷‘𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (0 · (𝐷‘𝑖))))
51	50	rspceeqv 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (0 · (𝐷‘𝑖)))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (𝑚 · (𝐷‘𝑖))))
52	39, 48, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (𝑚 · (𝐷‘𝑖))))
53	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
55		vdwapval 17066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ℕ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (𝑚 · (𝐷‘𝑖)))))
56	54, 45, 40, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝑖)) + (𝑚 · (𝐷‘𝑖)))))
57	52, 56	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)))
58	32, 57	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ (1...𝑊))
59	58	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷‘𝑖)) ∈ (1...𝑊))
60	25, 59, 14	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊))
61		elfzle2 13583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
63	9, 17, 19, 22, 62	letrd 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑊)
64	1, 11	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
65	18	nnzd 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℤ)
66		elfz5 13571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴 ≤ 𝑊))
67	64, 65, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴 ≤ 𝑊))
68	63, 67	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝑊))
69		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
70		ffn 6703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅 → 𝐹 Fn (1...𝑊))
71		fniniseg 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))))
72	29, 70, 71	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))))
73	68, 69, 72	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
74	73	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
75		fveq2 6879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐷‘𝑖) = (𝐷‘𝐼))
76	75	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐴 + (𝐷‘𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘𝐼)))
77	76, 75	oveq12d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼)))
78	76	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖))) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼))))
79	78	sneqd 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))})
80	79	imaeq2d 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}) = (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))}))
81	77, 80	sseq12d 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝐴 + (𝐷‘𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝑖)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝑖)))}) ↔ ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))})))
82	81, 26, 3	rspcdva 3577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))}))
83		vdwlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼))))
84	83	sneqd 4596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))})
85	84	imaeq2d 6056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) = (◡𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷‘𝐼)))}))
86	82, 85	sseqtrrd 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
87	74, 86	unssd 4138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷‘𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷‘𝐼))) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
88	8, 87	eqsstrd 3965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
89		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑))
90	89	sseq1d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)})))
91		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐼) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)))
92	91	sseq1d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝐷‘𝐼) → ((𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)})))
93	90, 92	rspc2ev 3589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷‘𝐼) ∈ ℕ ∧ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷‘𝐼)) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
94	1, 4, 88, 93	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
95		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
96		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝐴) → {𝑐} = {(𝐹‘𝐴)})
97	96	imaeq2d 6056	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑐}) = (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}))
98	97	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)})))
99	98	2rexbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝐴) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)})))
100	95, 99	spcev 3560	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {(𝐹‘𝐴)}) → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
101	94, 100	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐}))
102		ovex 7447	. . 3 ⊢ (1...𝑊) ∈ V
103		peano2nn0 12569	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
104	6, 103	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
105	102, 104, 29	vdwmc 17071	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑐})))
106	101, 105	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   ≤ cle 11269   − cmin 11466  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562  APcvdwa 17058   MonoAP cvdwm 17059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-vdwap 17061  df-vdwmc 17062

This theorem is used by:  vdwlem6  17079