MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem2 16958
Description: Lemma for vdw 16970. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
vdwlem2.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
vdwlem2.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
vdwlem2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐‘…)
vdwlem2.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + ๐‘)))
vdwlem2.g ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐บ โ†’ ๐พ MonoAP ๐น))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘Š

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
2 vdwlem2.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 nnaddcl 12273 . . . . . 6 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3syl2anr 595 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
65nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
72ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 elfznn0 13634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
12 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
1312nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„‚)
156, 8, 14add32d 11479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘))
16 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘) = ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘))
1716eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€)))
18 elfznn 13570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
19 nnaddcl 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
2018, 2, 19syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ โ„•)
21 nnuz 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
23 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + ๐‘)))
24 elfzuz3 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ ๐‘Š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ))
252nnzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 eluzadd 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Š + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
2724, 25, 26syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
28 uztrn 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘Š + ๐‘)) โˆง (๐‘Š + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
2923, 27, 28syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
30 elfzuzb 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ((๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘))))
3122, 29, 30sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€))
3231ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)(๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€))
3332ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)(๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€))
34 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))
35 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))
36 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘‘) = (๐‘š ยท ๐‘‘))
3736oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)))
3837rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘)))
3935, 38mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘)))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘)))
41 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
4342adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
44 vdwapval 16949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘))))
4543, 5, 12, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) = (๐‘Ž + (๐‘› ยท ๐‘‘))))
4640, 45mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
4734, 46sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))
48 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐‘…)
4948ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)) โˆˆ ๐‘…)
5031, 49syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)) โˆˆ ๐‘…)
51 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘Š) โ†ฆ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)))
5250, 51fmptd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:(1...๐‘Š)โŸถ๐‘…)
5352ffnd 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn (1...๐‘Š))
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐บ Fn (1...๐‘Š))
55 fniniseg 7074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บ Fn (1...๐‘Š) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†” ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘Š) โˆง (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†” ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘Š) โˆง (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘)))
5747, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘Š) โˆง (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘))
5857simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘Š))
5917, 33, 58rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘) โˆˆ (1...๐‘€))
6015, 59eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘€))
6115fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = (๐นโ€˜((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘)))
6216fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘)) = (๐นโ€˜((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘)))
63 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐นโ€˜((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘)) โˆˆ V
6462, 51, 63fvmpt 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘Š) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = (๐นโ€˜((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘)))
6558, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = (๐นโ€˜((๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘)) + ๐‘)))
6657simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐บโ€˜(๐‘Ž + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
6761, 65, 663eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘)
6860, 67jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘))
69 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โ†” ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘€)))
70 fveqeq2 6911 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ โ†” (๐นโ€˜((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘))
7169, 70anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘) โ†” (((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))) = ๐‘)))
7268, 71syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)))
7372rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)))
744adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„•)
75 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
76 vdwapval 16949 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))))
7742, 74, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))๐‘ฅ = ((๐‘Ž + ๐‘) + (๐‘š ยท ๐‘‘))))
7848ffnd 6728 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn (1...๐‘€))
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐น Fn (1...๐‘€))
80 fniniseg 7074 . . . . . . . . . 10 (๐น Fn (1...๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘€) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘)))
8273, 77, 813imtr4d 293 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
8382ssrdv 3988 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}))) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
8483expr 455 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†’ ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
8584reximdva 3165 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
86 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) = ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘))
8786sseq1d 4013 . . . . . . 7 (๐‘ = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ ((๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
8887rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘Ž + ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}) โ†” โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
8988rspcev 3611 . . . . 5 (((๐‘Ž + ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘Ž + ๐‘)(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘}))
904, 85, 89syl6an 682 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
9190rexlimdva 3152 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
9291eximdv 1912 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘}) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
93 ovex 7459 . . 3 (1...๐‘Š) โˆˆ V
9493, 41, 52vdwmc 16954 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐บ โ†” โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐บ โ€œ {๐‘})))
95 ovex 7459 . . 3 (1...๐‘€) โˆˆ V
9695, 41, 48vdwmc 16954 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐น โ†” โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก๐น โ€œ {๐‘})))
9792, 94, 963imtr4d 293 1 (๐œ‘ โ†’ (๐พ MonoAP ๐บ โ†’ ๐พ MonoAP ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   โІ wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ—กccnv 5681   โ€œ cima 5685   Fn wfn 6548  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  ...cfz 13524  APcvdwa 16941   MonoAP cvdwm 16942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-vdwap 16944  df-vdwmc 16945
This theorem is referenced by:  vdwlem9  16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator