MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul2 13297
Description: Extended real version of lemul2 12092. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยทe ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยทe ๐ต)))

Proof of Theorem xlemul2
StepHypRef Expression
1 xlemul1 13296 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ)))
2 simp1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 rpxr 13010 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
433ad2ant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„*)
5 xmulcom 13272 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด))
62, 4, 5syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ด))
7 simp2 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
8 xmulcom 13272 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต))
97, 4, 8syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต ยทe ๐ถ) = (๐ถ ยทe ๐ต))
106, 9breq12d 5156 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด ยทe ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยทe ๐ถ) โ†” (๐ถ ยทe ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยทe ๐ต)))
111, 10bitrd 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยทe ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยทe ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„*cxr 11272   โ‰ค cle 11274  โ„+crp 13001   ยทe cxmu 13118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xmul 13121
This theorem is referenced by:  psmetge0  24212  xmetge0  24244  metnrmlem3  24771  xdivpnfrp  32651
  Copyright terms: Public domain W3C validator