Theorem xmulasslem 13328

Description: Lemma for xmulass 13330. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulasslem.1	⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2	⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0	⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulasslem.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		0xr 11309	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		xrltso 13184	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
4		solin 5618	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
5	3, 4	mpan 690	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
6	1, 2, 5	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7		xlt0neg1 13262	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9		xnegcl 13256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11		breq2 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12		xmulasslem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
13	11, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
14	13	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))))
15		xmulasslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
16	15	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
18	14, 17	vtoclga 3576	. . . . . 6 ⊢ (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
19	10, 18	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))
20	8, 19	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21		xmulasslem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
22		xmulasslem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)
23	21, 22	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24		xmulasslem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
25		xmulasslem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
26		xneg11 13258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
28	23, 27	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ 𝑋 = 𝑌))
29	20, 28	sylibd 239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31		xmulasslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	30, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34		xmulasslem.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
35	33, 34	vtoclg 3553	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
36	1, 35	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37		breq2 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
38	37, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
39	38	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))))
40	39, 17	vtoclga 3576	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
41	1, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))
42	29, 36, 41	3jaod 1430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142   Or wor 5590  0cc0 11156  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296  -_𝑒cxne 13152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-xneg 13155

This theorem is referenced by:  xmulass  13330