Theorem xmulasslem 12679

Description: Lemma for xmulass 12681. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulasslem.1	⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2	⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0	⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulasslem.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		0xr 10688	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		xrltso 12535	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
4		solin 5498	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
5	3, 4	mpan 688	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
6	1, 2, 5	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7		xlt0neg1 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9		xnegcl 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11		breq2 5070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12		xmulasslem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
13	11, 12	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
14	13	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))))
15		xmulasslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
16	15	exp32 423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
18	14, 17	vtoclga 3574	. . . . . 6 ⊢ (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
19	10, 18	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))
20	8, 19	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21		xmulasslem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
22		xmulasslem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)
23	21, 22	eqeq12d 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24		xmulasslem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
25		xmulasslem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
26		xneg11 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
28	23, 27	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ 𝑋 = 𝑌))
29	20, 28	sylibd 241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30		eqeq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31		xmulasslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	30, 31	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
33	32	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34		xmulasslem.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
35	33, 34	vtoclg 3567	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
36	1, 35	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37		breq2 5070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
38	37, 31	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
39	38	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))))
40	39, 17	vtoclga 3574	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
41	1, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))
42	29, 36, 41	3jaod 1424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066   Or wor 5473  0cc0 10537  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675  -_𝑒cxne 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-xneg 12508

This theorem is referenced by:  xmulass  12681