Theorem xmulasslem 13271

Description: Lemma for xmulass 13273. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulasslem.1	⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2	⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0	⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulasslem.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		0xr 11268	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		xrltso 13127	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
4		solin 5613	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
5	3, 4	mpan 687	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7		xlt0neg1 13205	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9		xnegcl 13199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12		xmulasslem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
13	11, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
14	13	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))))
15		xmulasslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
16	15	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
18	14, 17	vtoclga 3566	. . . . . 6 ⊢ (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
19	10, 18	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))
20	8, 19	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21		xmulasslem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
22		xmulasslem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)
23	21, 22	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24		xmulasslem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
25		xmulasslem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
26		xneg11 13201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
28	23, 27	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ 𝑋 = 𝑌))
29	20, 28	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31		xmulasslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	30, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34		xmulasslem.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
35	33, 34	vtoclg 3542	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
36	1, 35	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
38	37, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
39	38	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))))
40	39, 17	vtoclga 3566	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
41	1, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))
42	29, 36, 41	3jaod 1427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   Or wor 5587  0cc0 11116  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  -_𝑒cxne 13096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-xneg 13099

This theorem is referenced by:  xmulass  13273