MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulasslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulasslem 13264
Description: Lemma for xmulass 13266. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmulasslem.1 (𝑥 = 𝐷 → (𝜓𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e (𝜑𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f (𝜑𝐹 = -𝑒𝑌)
Assertion
Ref Expression
xmulasslem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem
StepHypRef Expression
1 xmulasslem.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 0xr 11261 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 xrltso 13120 . . . 4 < Or ℝ*
4 solin 5614 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
53, 4mpan 689 . . 3 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
61, 2, 5sylancl 587 . 2 (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7 xlt0neg1 13198 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9 xnegcl 13192 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12 xmulasslem.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓𝐸 = 𝐹))
1311, 12imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹)))
1413imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹))))
15 xmulasslem.ps . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
1615exp32 422 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥𝜓)))
1716com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)))
1814, 17vtoclga 3566 . . . . . 6 (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹)))
1910, 18mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹))
208, 19sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21 xmulasslem.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 = -𝑒𝑋)
22 xmulasslem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = -𝑒𝑌)
2321, 22eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24 xmulasslem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
25 xmulasslem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
26 xneg11 13194 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌𝑋 = 𝑌))
2724, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌𝑋 = 𝑌))
2823, 27bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 = 𝐹𝑋 = 𝑌))
2920, 28sylibd 238 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31 xmulasslem.1 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝜓𝑋 = 𝑌))
3230, 31imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
3332imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34 xmulasslem.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
3533, 34vtoclg 3557 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
361, 35mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
3837, 31imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥𝜓) ↔ (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌)))
3938imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌))))
4039, 17vtoclga 3566 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌)))
411, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌))
4229, 36, 413jaod 1429 . 2 (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
436, 42mpd 15 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149   Or wor 5588  0cc0 11110  *cxr 11247   < clt 11248  -𝑒cxne 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092
This theorem is referenced by:  xmulass  13266
  Copyright terms: Public domain W3C validator