MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulasslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulasslem 13271
Description: Lemma for xmulass 13273. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmulasslem.1 (𝑥 = 𝐷 → (𝜓𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e (𝜑𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f (𝜑𝐹 = -𝑒𝑌)
Assertion
Ref Expression
xmulasslem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem
StepHypRef Expression
1 xmulasslem.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 0xr 11268 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 xrltso 13127 . . . 4 < Or ℝ*
4 solin 5613 . . . 4 (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
53, 4mpan 687 . . 3 ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
61, 2, 5sylancl 585 . 2 (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7 xlt0neg1 13205 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9 xnegcl 13199 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12 xmulasslem.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓𝐸 = 𝐹))
1311, 12imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹)))
1413imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹))))
15 xmulasslem.ps . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
1615exp32 420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥𝜓)))
1716com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)))
1814, 17vtoclga 3566 . . . . . 6 (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹)))
1910, 18mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷𝐸 = 𝐹))
208, 19sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21 xmulasslem.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 = -𝑒𝑋)
22 xmulasslem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 = -𝑒𝑌)
2321, 22eqeq12d 2747 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24 xmulasslem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
25 xmulasslem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
26 xneg11 13201 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌𝑋 = 𝑌))
2724, 25, 26syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌𝑋 = 𝑌))
2823, 27bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 = 𝐹𝑋 = 𝑌))
2920, 28sylibd 238 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30 eqeq1 2735 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31 xmulasslem.1 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (𝜓𝑋 = 𝑌))
3230, 31imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
3332imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34 xmulasslem.0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
3533, 34vtoclg 3542 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
361, 35mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
3837, 31imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥𝜓) ↔ (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌)))
3938imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌))))
4039, 17vtoclga 3566 . . . 4 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌)))
411, 40mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐷𝑋 = 𝑌))
4229, 36, 413jaod 1427 . 2 (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
436, 42mpd 15 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3o 1085   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148   Or wor 5587  0cc0 11116  *cxr 11254   < clt 11255  -𝑒cxne 13096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-xneg 13099
This theorem is referenced by:  xmulass  13273
  Copyright terms: Public domain W3C validator