Theorem xmulasslem 12948

Description: Lemma for xmulass 12950. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulasslem.1	⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2	⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0	⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulasslem.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		0xr 10953	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		xrltso 12804	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
4		solin 5519	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
5	3, 4	mpan 686	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
6	1, 2, 5	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7		xlt0neg1 12882	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9		xnegcl 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12		xmulasslem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
13	11, 12	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
14	13	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))))
15		xmulasslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
16	15	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
18	14, 17	vtoclga 3503	. . . . . 6 ⊢ (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
19	10, 18	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))
20	8, 19	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21		xmulasslem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
22		xmulasslem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)
23	21, 22	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24		xmulasslem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
25		xmulasslem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
26		xneg11 12878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
28	23, 27	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ 𝑋 = 𝑌))
29	20, 28	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31		xmulasslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	30, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
33	32	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34		xmulasslem.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
35	33, 34	vtoclg 3495	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
36	1, 35	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37		breq2 5074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
38	37, 31	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
39	38	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))))
40	39, 17	vtoclga 3503	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
41	1, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))
42	29, 36, 41	3jaod 1426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   Or wor 5493  0cc0 10802  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  -_𝑒cxne 12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-xneg 12777

This theorem is referenced by:  xmulass  12950