Theorem xmulasslem 13268

Description: Lemma for xmulass 13270. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmulasslem.1	⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
xmulasslem.2	⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
xmulasslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
xmulasslem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
xmulasslem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
xmulasslem.ps	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
xmulasslem.0	⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
xmulasslem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
xmulasslem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xmulasslem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem xmulasslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmulasslem.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
2		0xr 11265	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		xrltso 13124	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
4		solin 5612	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
5	3, 4	mpan 686	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
6	1, 2, 5	sylancl 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
7		xlt0neg1 13202	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
9		xnegcl 13196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐷 ∈ ℝ*)
11		breq2 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < -𝑒𝐷))
12		xmulasslem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → (𝜓 ↔ 𝐸 = 𝐹))
13	11, 12	imbi12d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
14	13	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑒𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))))
15		xmulasslem.ps	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑥)) → 𝜓)
16	15	exp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
17	16	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)))
18	14, 17	vtoclga 3565	. . . . . 6 ⊢ (-𝑒𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹)))
19	10, 18	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝑒𝐷 → 𝐸 = 𝐹))
20	8, 19	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐸 = 𝐹))
21		xmulasslem.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -𝑒𝑋)
22		xmulasslem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = -𝑒𝑌)
23	21, 22	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ -𝑒𝑋 = -𝑒𝑌))
24		xmulasslem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
25		xmulasslem.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
26		xneg11 13198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝑋 = -𝑒𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
28	23, 27	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = 𝐹 ↔ 𝑋 = 𝑌))
29	20, 28	sylibd 238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝑋 = 𝑌))
30		eqeq1 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
31		xmulasslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝜓 ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	30, 31	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 = 0 → 𝜓) ↔ (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
33	32	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))))
34		xmulasslem.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 0 → 𝜓))
35	33, 34	vtoclg 3541	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
36	1, 35	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 = 0 → 𝑋 = 𝑌))
37		breq2 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐷))
38	37, 31	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((0 < 𝑥 → 𝜓) ↔ (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
39	38	imbi2d 339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → ((𝜑 → (0 < 𝑥 → 𝜓)) ↔ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))))
40	39, 17	vtoclga 3565	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ* → (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌)))
41	1, 40	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐷 → 𝑋 = 𝑌))
42	29, 36, 41	3jaod 1426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷) → 𝑋 = 𝑌))
43	6, 42	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147   Or wor 5586  0cc0 11112  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  -_𝑒cxne 13093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-xneg 13096

This theorem is referenced by:  xmulass  13270