Theorem xneg11 13054

Description: Extended real version of neg11 11377. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xneg11	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xneg11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegeq 13046	. . 3 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵)
2		xnegneg 13053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
3		xnegneg 13053	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
4	2, 3	eqeqan12d 2751	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	syl5ib 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
6		xnegeq 13046	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
7	5, 6	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ℝ^*cxr 11113  -_𝑒cxne 12950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-sub 11312  df-neg 11313  df-xneg 12953

This theorem is referenced by:  xaddass2  13089  xmulneg1  13108  xmulpnf1n  13117  xmulasslem  13124  xadddi  13134  xadddi2  13136  xrsxmet  24077  liminfvalxr  43712  liminflbuz2  43744  liminfpnfuz  43745