Theorem xneg11 12291

Description: Extended real version of neg11 10622. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xneg11	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem xneg11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegeq 12283	. . 3 ⊢ (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵)
2		xnegneg 12290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
3		xnegneg 12290	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
4	2, 3	eqeqan12d 2813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	syl5ib 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
6		xnegeq 12283	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → -𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
7	5, 6	impbid1 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ℝ^*cxr 10360  -_𝑒cxne 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-sub 10556  df-neg 10557  df-xneg 12189

This theorem is referenced by:  xaddass2  12325  xmulneg1  12344  xmulpnf1n  12353  xmulasslem  12360  xadddi  12370  xadddi2  12372  xrsxmet  22937  liminfvalxr  40747