Theorem xpsrngd 20151

Description: A product of two non-unital rings is a non-unital ring (xpsmnd 18736 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
xpsrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
xpsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
xpsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Proof of Theorem xpsrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		xpsrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
5		xpsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		eqid 2739	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
8		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) = ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17525	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
10	6	xpsff1o2 17524	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
12	11	f1oeq3d 6764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))))
13	10, 12	mpbii 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
14		f1ocnv 6779	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
15		f1of1 6766	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
17		2on 8408	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
19		fvexd 6842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) ∈ V)
20		xpscf 17520	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
21	4, 5, 20	sylanbrc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng)
22	8, 18, 19, 21	prdsrngd 20148	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng)
23		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
24		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
25	23, 24	imasrngf1 20150	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) ∧ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
26	16, 22, 25	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
27	9, 26	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261  {cpr 4557  ⟨cop 4561   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617  ran crn 5619  Oncon0 6310  ⟶wf 6481  –1-1→wf1 6482  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  X_scprds 17399   “_s cimas 17459   ×_s cxps 17461  Rngcrng 20124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125

This theorem is referenced by:  rngqiprng  21289  pzriprnglem1  21456