Theorem xpsrngd 20252

Description: A product of two non-unital rings is a non-unital ring (xpsmnd 18830 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
xpsrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
xpsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
xpsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Proof of Theorem xpsrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		xpsrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
5		xpsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) = ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17619	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
10	6	xpsff1o2 17618	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
12	11	f1oeq3d 6817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))))
13	10, 12	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
14		f1ocnv 6833	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
15		f1of1 6819	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
17		2on 8463	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
19		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) ∈ V)
20		xpscf 17614	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
21	4, 5, 20	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng)
22	8, 18, 19, 21	prdsrngd 20249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
25	23, 24	imasrngf1 20251	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) ∧ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
26	16, 22, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
27	9, 26	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {cpr 4591  ⟨cop 4595   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  X_scprds 17493   “_s cimas 17553   ×_s cxps 17555  Rngcrng 20225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226

This theorem is referenced by:  rngqiprng  21436  pzriprnglem1  21631