MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsrngd 20081
Description: A product of two non-unital rings is a non-unital ring (xpsmnd 18704 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsrngd.y π‘Œ = (𝑆 Γ—s 𝑅)
xpsrngd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Rng)
xpsrngd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
Assertion
Ref Expression
xpsrngd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Rng)

Proof of Theorem xpsrngd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsrngd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆 Γ—s 𝑅)
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 xpsrngd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Rng)
5 xpsrngd.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
6 eqid 2726 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2726 . . 3 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
8 eqid 2726 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17522 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})))
106xpsff1o2 17521 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17523 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})))
1211f1oeq3d 6823 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))))
1310, 12mpbii 232 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})))
14 f1ocnv 6838 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))
15 f1of1 6825 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…)) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))
17 2on 8478 . . . . 5 2o ∈ On
1817a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 2o ∈ On)
19 fvexd 6899 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘†) ∈ V)
20 xpscf 17517 . . . . 5 ({βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}:2o⟢Rng ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
214, 5, 20sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}:2o⟢Rng)
228, 18, 19, 21prdsrngd 20078 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}) ∈ Rng)
23 eqid 2726 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})) = (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))
24 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))
2523, 24imasrngf1 20080 . . 3 ((β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘…)) ∧ ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©}) ∈ Rng) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})) ∈ Rng)
2616, 22, 25syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘†)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘†βŸ©, ⟨1o, π‘…βŸ©})) ∈ Rng)
279, 26eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670  Oncon0 6357  βŸΆwf 6532  β€“1-1β†’wf1 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1oc1o 8457  2oc2o 8458  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206  Xscprds 17397   β€œs cimas 17456   Γ—s cxps 17458  Rngcrng 20054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055
This theorem is referenced by:  rngqiprng  21146  pzriprnglem1  21363
  Copyright terms: Public domain W3C validator