Theorem xpsrngd 20154

Description: A product of two non-unital rings is a non-unital ring (xpsmnd 18739 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
xpsrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
xpsrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
xpsrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Proof of Theorem xpsrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		xpsrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Rng)
5		xpsrngd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) = ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17528	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
10	6	xpsff1o2 17527	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
12	11	f1oeq3d 6772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))))
13	10, 12	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
14		f1ocnv 6787	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
15		f1of1 6774	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
17		2on 8412	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
19		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) ∈ V)
20		xpscf 17523	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
21	4, 5, 20	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Rng)
22	8, 18, 19, 21	prdsrngd 20151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng)
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
25	23, 24	imasrngf1 20153	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) ∧ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Rng) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
26	16, 22, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Rng)
27	9, 26	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {cpr 4570  ⟨cop 4574   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217  X_scprds 17402   “_s cimas 17462   ×_s cxps 17464  Rngcrng 20127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128

This theorem is referenced by:  rngqiprng  21289  pzriprnglem1  21474