Theorem xpsmnd 17645

Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsmnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsmnd	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)

Proof of Theorem xpsmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsmnd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑅 ∈ Mnd)
5		simpr 478	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ Mnd)
6		eqid 2799	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7		eqid 2799	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2799	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 16547	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
10	6	xpsff1o2 16546	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpslem 16548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
12		f1oeq3 6347	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))))
14	10, 13	mpbii 225	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
15		f1ocnv 6368	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16		f1of1 6355	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
17	14, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
18		2on 7808	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 2𝑜 ∈ On)
20		fvexd 6426	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
21		xpscf 16541	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Mnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
22	21	biimpri 220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2𝑜⟶Mnd)
23	8, 19, 20, 22	prdsmndd 17638	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Mnd)
24		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
25		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))
26	24, 25	imasmndf1 17644	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ Mnd) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Mnd)
27	17, 23, 26	syl2anc 580	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ Mnd)
28	9, 27	eqeltrd 2878	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  {csn 4368   × cxp 5310  ^◡ccnv 5311  ran crn 5313  Oncon0 5941  ⟶wf 6097  –1-1→wf1 6098  –1-1-onto→wf1o 6100  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  2_𝑜c2o 7793   +_𝑐 ccda 9277  Basecbs 16184  Scalarcsca 16270  X_scprds 16421   “_s cimas 16479   ×_s cxps 16481  Mndcmnd 17609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610

This theorem is referenced by: (None)