Theorem xpsmnd 18884

Description: The binary product of monoids is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsmnd.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsmnd	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)

Proof of Theorem xpsmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsmnd.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑅 ∈ Mnd)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ Mnd)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17656	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	6	xpsff1o2 17655	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
12	11	f1oeq3d 6814	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))))
13	10, 12	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
14		f1ocnv 6830	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
15		f1of1 6816	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
17		2on 8469	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 2o ∈ On)
19		fvexd 6893	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
20		xpscf 17651	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶Mnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
21	20	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶Mnd)
22	8, 18, 19, 21	prdsmndd 18877	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ Mnd)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
25	23, 24	imasmndf1 18883	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ Mnd) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ Mnd)
26	16, 22, 25	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ Mnd)
27	9, 26	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → 𝑇 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {cpr 4586  ⟨cop 4590   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  Oncon0 6357  ⟶wf 6529  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1_oc1o 8448  2_oc2o 8449  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345  X_scprds 17530   “_s cimas 17590   ×_s cxps 17592  Mndcmnd 18836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-prds 17532  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837

This theorem is used by: (None)