Theorem xpsringd 20402

Description: A product of two rings is a ring (xpsmnd 18823 analog). (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsringd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
xpsringd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
xpsringd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
xpsringd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Proof of Theorem xpsringd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsringd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		xpsringd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		xpsringd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) = ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17612	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
10	6	xpsff1o2 17611	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
12	11	f1oeq3d 6807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))))
13	10, 12	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
14		f1ocnv 6823	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
15		f1of1 6809	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
17		2on 8455	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
19		fvexd 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) ∈ V)
20		xpscf 17607	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Ring ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
21	4, 5, 20	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Ring)
22	8, 18, 19, 21	prdsringd 20390	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Ring)
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
25	23, 24	imasringf1 20401	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) ∧ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Ring) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Ring)
26	16, 22, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Ring)
27	9, 26	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {cpr 4587  ⟨cop 4591   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  Oncon0 6349  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301  X_scprds 17486   “_s cimas 17546   ×_s cxps 17548  Ringcrg 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-prds 17488  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21406  rngqiprngu  21417  pzriprng  21604