Theorem xpsringd 20479

Description: A product of two rings is a ring (xpsmnd 18890 analog). (Contributed by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsringd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
xpsringd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
xpsringd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
xpsringd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

Proof of Theorem xpsringd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsringd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆 ×s 𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		xpsringd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
5		xpsringd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) = ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17662	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
10	6	xpsff1o2 17661	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
12	11	f1oeq3d 6818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))))
13	10, 12	mpbii 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})))
14		f1ocnv 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
15		f1of1 6820	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)))
17		2on 8473	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ On)
19		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑆) ∈ V)
20		xpscf 17657	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Ring ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ Ring))
21	4, 5, 20	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}:2o⟶Ring)
22	8, 18, 19, 21	prdsringd 20467	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Ring)
23		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
24		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))
25	23, 24	imasringf1 20478	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}))–1-1→((Base‘𝑆) × (Base‘𝑅)) ∧ ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩}) ∈ Ring) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Ring)
26	16, 22, 25	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑆), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑆)Xs{⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑅⟩})) ∈ Ring)
27	9, 26	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {cpr 4589  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351  X_scprds 17536   “_s cimas 17596   ×_s cxps 17598  Ringcrg 20378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380

This theorem is used by:  rngringbdlem2  21516  rngqiprngu  21527  pzriprng  21716