Theorem xpsxms 24455

Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsms.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem xpsxms

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsms.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑆 ∈ ∞MetSp)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17509	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17510	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17508	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6794	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14		fvexd 6855	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
15		2onn 8583	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 9108	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 2o ∈ Fin)
18		xpscf 17504	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp ↔ (𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp))
19	18	biimpri 228	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp)
20	8	prdsxms 24451	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
22	9, 10, 13, 21	imasf1oxms 24410	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {cpr 4587  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ωcom 7822  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Fincfn 8895  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  X_scprds 17384   ×_s cxps 17445  ∞MetSpcxms 24238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-xms 24241

This theorem is referenced by:  tmsxps  24457  tmsxpsmopn  24458