Theorem xpsxms 22847

Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsms.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem xpsxms

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsms.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑆 ∈ ∞MetSp)
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
7		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 16701	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) “s ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpslem 16702	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
11	6	xpsff1o2 16700	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
12		f1ocnv 6456	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
13	11, 12	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14		fvexd 6514	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
15		2onn 8067	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 8506	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 2o ∈ Fin)
18		xpscf 16695	. . . 4 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2o⟶∞MetSp ↔ (𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp))
19	18	biimpri 220	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2o⟶∞MetSp)
20	8	prdsxms 22843	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}):2o⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ ∞MetSp)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1351	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) ∈ ∞MetSp)
22	9, 10, 13, 21	imasf1oxms 22802	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  {csn 4441   × cxp 5405  ^◡ccnv 5406  ran crn 5408  ⟶wf 6184  –1-1-onto→wf1o 6187  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  ωcom 7396  2_oc2o 7899  Fincfn 8306   +_𝑐 ccda 9387  Basecbs 16339  Scalarcsca 16424  X_scprds 16575   ×_s cxps 16635  ∞MetSpcxms 22630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-xms 22633

This theorem is referenced by:  tmsxps  22849  tmsxpsmopn  22850