Theorem xpsxms 24660

Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsms.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem xpsxms

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsms.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑆 ∈ ∞MetSp)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17624	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17625	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17623	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6834	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
13	11, 12	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14		fvexd 6897	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
15		2onn 8628	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 9152	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 2o ∈ Fin)
18		xpscf 17619	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp ↔ (𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp))
19	18	biimpri 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp)
20	8	prdsxms 24656	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ ∞MetSp)
22	9, 10, 13, 21	imasf1oxms 24615	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑆 ∈ ∞MetSp) → 𝑇 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {cpr 4596  ⟨cop 4600   × cxp 5660  ^◡ccnv 5661  ran crn 5663  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ωcom 7862  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  Fincfn 8943  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313  X_scprds 17498   ×_s cxps 17560  ∞MetSpcxms 24443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-xms 24446

This theorem is referenced by:  tmsxps  24662  tmsxpsmopn  24663