Theorem xpsgrp 18694

Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsgrp.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsgrp.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑆 ∈ Grp)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17281	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	6	xpsff1o2 17280	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
12	11	f1oeq3d 6713	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))))
13	10, 12	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
14		f1ocnv 6728	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))–1-1-onto→(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
15		f1of1 6715	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1-onto→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
17		2on 8311	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ On
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 2o ∈ On)
19		fvexd 6789	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
20		xpscf 17276	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
21	20	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶Grp)
22	8, 18, 19, 21	prdsgrpd 18685	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ Grp)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
25	23, 24	imasgrpf1 18692	. . 3 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))–1-1→((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)) ∧ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ Grp)
26	16, 22, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})) ∈ Grp)
27	9, 26	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256  {cpr 4563  ⟨cop 4567   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590  Oncon0 6266  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  X_scprds 17156   “_s cimas 17215   ×_s cxps 17217  Grpcgrp 18577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581

This theorem is referenced by: (None)