MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsgrp 19020
Description: The binary product of groups is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsgrp.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpsgrp ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 𝑇 ∈ Grp)

Proof of Theorem xpsgrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsgrp.t . . 3 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4 simpl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 simpr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
6 eqid 2727 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2727 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
8 eqid 2727 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17557 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
106xpsff1o2 17556 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17558 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
1211f1oeq3d 6839 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))))
1310, 12mpbii 232 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
14 f1ocnv 6854 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
15 f1of1 6841 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
1613, 14, 153syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
17 2on 8505 . . . . 5 2o ∈ On
1817a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 2o ∈ On)
19 fvexd 6915 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
20 xpscf 17552 . . . . 5 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢Grp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp))
2120biimpri 227 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢Grp)
228, 18, 19, 21prdsgrpd 19011 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ Grp)
23 eqid 2727 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
24 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))
2523, 24imasgrpf1 19018 . . 3 ((β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):(Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}))–1-1β†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)) ∧ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ Grp) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ Grp)
2616, 22, 25syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})) ∈ Grp)
279, 26eqeltrd 2828 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  βˆ…c0 4324  {cpr 4632  βŸ¨cop 4636   Γ— cxp 5678  β—‘ccnv 5679  ran crn 5681  Oncon0 6372  βŸΆwf 6547  β€“1-1β†’wf1 6548  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6550  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  1oc1o 8484  2oc2o 8485  Basecbs 17185  Scalarcsca 17241  Xscprds 17432   β€œs cimas 17491   Γ—s cxps 17493  Grpcgrp 18895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-prds 17434  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899
This theorem is referenced by:  xpsinv  19021  xpsgrpsub  19022
  Copyright terms: Public domain W3C validator