Theorem xpsms 24887

Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsms.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
xpsms	⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 𝑇 ∈ MetSp)

Proof of Theorem xpsms

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsms.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 𝑅 ∈ MetSp)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 𝑆 ∈ MetSp)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) = ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsval 17774	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 𝑇 = (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	xpsrnbas 17775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})))
11	6	xpsff1o2 17773	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))⟶1-1ontoran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
12		f1ocnv 6862	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆))⟶1-1ontoran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})⟶1-1onto((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
13	11, 12	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}):ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})⟶1-1onto((Base‘𝑅) × (Base‘𝑆)))
14		fvexd 6926	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
15		2onn 8682	. . . 4 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 9214	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 2o ∈ Fin)
18		xpscf 17769	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶MetSp ↔ (𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp))
19	18	biimpri 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶MetSp)
20	8	prdsms 24883	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}:2o⟶MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ MetSp)
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ MetSp)
22	9, 10, 13, 21	imasf1oms 24842	1 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) → 𝑇 ∈ MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {cpr 4590  ⟨cop 4838   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655  ran crn 5657  ⟶wf 6557  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  ωcom 7904  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Fincfn 9004  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463  X_scprds 17648   ×_s cxps 17710  MetSpcms 24670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-xms 24672  df-ms 24673

This theorem is used by: (None)