MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsms 24366
Description: A binary product of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xpsms.t 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
xpsms ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)

Proof of Theorem xpsms
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsms.t . . 3 𝑇 = (𝑅 Γ—s 𝑆)
2 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
4 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 𝑅 ∈ MetSp)
5 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 𝑆 ∈ MetSp)
6 eqid 2724 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7 eqid 2724 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
8 eqid 2724 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsval 17515 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 𝑇 = (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β€œs ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8xpsrnbas 17516 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©})))
116xpsff1o2 17514 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
12 f1ocnv 6835 . . 3 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†))–1-1-ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
1311, 12mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}):ran (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})–1-1-ontoβ†’((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
14 fvexd 6896 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
15 2onn 8637 . . . 4 2o ∈ Ο‰
16 nnfi 9163 . . . 4 (2o ∈ Ο‰ β†’ 2o ∈ Fin)
1715, 16mp1i 13 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 2o ∈ Fin)
18 xpscf 17510 . . . 4 ({βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢MetSp ↔ (𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp))
1918biimpri 227 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢MetSp)
208prdsms 24362 . . 3 (((Scalarβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 2o ∈ Fin ∧ {βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}:2o⟢MetSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ MetSp)
2114, 17, 19, 20syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs{βŸ¨βˆ…, π‘…βŸ©, ⟨1o, π‘†βŸ©}) ∈ MetSp)
229, 10, 13, 21imasf1oms 24321 1 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝑆 ∈ MetSp) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βˆ…c0 4314  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Ο‰com 7848  1oc1o 8454  2oc2o 8455  Fincfn 8935  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  Xscprds 17390   Γ—s cxps 17451  MetSpcms 24146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-xms 24148  df-ms 24149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator