Theorem zdivgd 41938

Description: Two ways to express "𝑁 is an integer multiple of 𝑀". Originally a subproof of zdiv 12670. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zdivgd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
zdivgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
zdivgd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
zdivgd	⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdivgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
2	1	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
3		zdivgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zdivgd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan3d 12033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
9	7, 8	sylan9req 2789	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
10		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
12	11	rexlimdva2 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
13		zdivgd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13, 3, 5	divcan2d 12030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
16	15	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
17	16	rspcev 3611	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
19	14, 18	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
20	12, 19	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146   · cmul 11151   / cdiv 11909  ℤcz 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-z 12597

This theorem is referenced by:  ef11d  41941