Theorem zdivgd 42707

Description: Two ways to express "𝑁 is an integer multiple of 𝑀". Originally a subproof of zdiv 12574. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zdivgd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
zdivgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
zdivgd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
zdivgd	⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdivgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
3		zdivgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zdivgd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan3d 11934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
9	7, 8	sylan9req 2793	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
10		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
12	11	rexlimdva2 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
13		zdivgd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13, 3, 5	divcan2d 11931	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
17	16	rspcev 3578	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
19	14, 18	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
20	12, 19	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-z 12501

This theorem is referenced by:  ef11d  42709