Theorem zdivgd 43156

Description: Two ways to express "𝑁 is an integer multiple of 𝑀". Originally a subproof of zdiv 12682. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zdivgd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
zdivgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
zdivgd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
zdivgd	⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdivgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
3		zdivgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zdivgd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan3d 12011	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
9	7, 8	sylan9req 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
10		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
12	11	rexlimdva2 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
13		zdivgd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13, 3, 5	divcan2d 12008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
16	15	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
17	16	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
19	14, 18	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
20	12, 19	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115   · cmul 11120   / cdiv 11886  ℤcz 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-z 12607

This theorem is used by:  ef11d  43158