Theorem zdivgd 43213

Description: Two ways to express "𝑁 is an integer multiple of 𝑀". Originally a subproof of zdiv 12692. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zdivgd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
zdivgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
zdivgd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
zdivgd	⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdivgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
3		zdivgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
5		zdivgd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan3d 12021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
9	7, 8	sylan9req 2816	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
10		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
12	11	rexlimdva2 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
13		zdivgd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13, 3, 5	divcan2d 12018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
17	16	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
19	14, 18	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
20	12, 19	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  0cc0 11125   · cmul 11130   / cdiv 11896  ℤcz 12616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-z 12617

This theorem is used by:  ef11d  43215