MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdiv 12630
Description: Two ways to express "๐‘€ divides ๐‘". (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdiv ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem zdiv
StepHypRef Expression
1 nnne0 12244 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
21adantr 480 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
3 nncn 12218 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4 zcn 12561 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 zcn 12561 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6 divcan3 11896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
763coml 1124 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
873expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
95, 8sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
1093adantl2 1164 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
11 oveq1 7409 . . . . . . . 8 ((๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = (๐‘ / ๐‘€))
1210, 11sylan9req 2785 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€))
13 simplr 766 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1412, 13eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1514rexlimdva2 3149 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
16 divcan2 11878 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
17163com12 1120 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
18 oveq2 7410 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) = (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)))
1918eqeq1d 2726 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2019rspcev 3604 . . . . . . 7 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘)
2120expcom 413 . . . . . 6 ((๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘))
2217, 21syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘))
2315, 22impbid 211 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
24233expia 1118 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)))
253, 4, 24syl2an 595 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)))
262, 25mpd 15 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆƒwrex 3062  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107   ยท cmul 11112   / cdiv 11869  โ„•cn 12210  โ„คcz 12556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-z 12557
This theorem is referenced by:  addmodlteq  13909  fmtnoprmfac2lem1  46744
  Copyright terms: Public domain W3C validator