Theorem zdiv 12562

Description: Two ways to express "𝑀 divides 𝑁". (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12179	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
3		nncn 12153	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4		zcn 12493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		zcn 12493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6		divcan3 11822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
7	6	3coml 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8	7	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
9	5, 8	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
10	9	3adantl2 1168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
11		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
12	10, 11	sylan9req 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	12, 13	eqeltrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	rexlimdva2 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
16		divcan2 11804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
17	16	3com12 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
18		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
19	18	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
20	19	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
21	20	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
22	17, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
23	15, 22	impbid 212	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	23	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
25	3, 4, 24	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
26	2, 25	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-z 12489

This theorem is referenced by:  addmodlteq  13869  fmtnoprmfac2lem1  47812