MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdiv 11774
Description: Two ways to express "𝑀 divides 𝑁. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdiv ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdiv
StepHypRef Expression
1 nnne0 11385 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
21adantr 474 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
3 nncn 11358 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4 zcn 11708 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5 zcn 11708 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6 divcan3 11035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
763coml 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
873expa 1153 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
95, 8sylan2 588 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
1093adantl2 1214 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
11 oveq1 6911 . . . . . . . 8 ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
1210, 11sylan9req 2881 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
13 simplr 787 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1412, 13eqeltrrd 2906 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
1514rexlimdva2 3242 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
16 divcan2 11017 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
17163com12 1159 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
18 oveq2 6912 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
1918eqeq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
2019rspcev 3525 . . . . . . 7 (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
2120expcom 404 . . . . . 6 ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
2217, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
2315, 22impbid 204 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
24233expia 1156 . . 3 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
253, 4, 24syl2an 591 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
262, 25mpd 15 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wrex 3117  (class class class)co 6904  cc 10249  0cc0 10251   · cmul 10256   / cdiv 11008  cn 11349  cz 11703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-z 11704
This theorem is referenced by:  addmodlteq  13039  fmtnoprmfac2lem1  42307
  Copyright terms: Public domain W3C validator