MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zdiv 12656
Description: Two ways to express "๐‘€ divides ๐‘". (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
zdiv ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem zdiv
StepHypRef Expression
1 nnne0 12270 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
21adantr 480 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
3 nncn 12244 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4 zcn 12587 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 zcn 12587 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6 divcan3 11922 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
763coml 1125 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
873expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
95, 8sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
1093adantl2 1165 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = ๐‘˜)
11 oveq1 7421 . . . . . . . 8 ((๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) / ๐‘€) = (๐‘ / ๐‘€))
1210, 11sylan9req 2789 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€))
13 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1412, 13eqeltrrd 2830 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1514rexlimdva2 3153 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
16 divcan2 11904 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
17163com12 1121 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
18 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘˜) = (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)))
1918eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2019rspcev 3608 . . . . . . 7 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘)
2120expcom 413 . . . . . 6 ((๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘))
2217, 21syl 17 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘))
2315, 22impbid 211 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
24233expia 1119 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)))
253, 4, 24syl2an 595 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)))
262, 25mpd 15 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘€ ยท ๐‘˜) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆƒwrex 3066  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  0cc0 11132   ยท cmul 11137   / cdiv 11895  โ„•cn 12236  โ„คcz 12582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-z 12583
This theorem is referenced by:  addmodlteq  13937  fmtnoprmfac2lem1  46900
  Copyright terms: Public domain W3C validator