Theorem zdiv 12667

Description: Two ways to express "𝑀 divides 𝑁". (Contributed by NM, 3-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
zdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12271	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
3		nncn 12242	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
4		zcn 12597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		zcn 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6		divcan3 11899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
7	6	3coml 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
8	7	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
9	5, 8	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
10	9	3adantl2 1186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = 𝑘)
11		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → ((𝑀 · 𝑘) / 𝑀) = (𝑁 / 𝑀))
12	10, 11	sylan9req 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 = (𝑁 / 𝑀))
13		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	12, 13	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
15	14	rexlimdva2 3168	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
16		divcan2 11881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
17	16	3com12 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
18		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
19	18	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
20	19	rspcev 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁)
21	20	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
22	17, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁))
23	15, 22	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
24	23	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
25	3, 4, 24	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)))
26	2, 25	mpd 16	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 · 𝑘) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   · cmul 11106   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℤcz 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-z 12593

This theorem is referenced by:  addmodlteq  13984  fmtnoprmfac2lem1  48301