Theorem posqsqznn 42628

Description: When a positive rational squared is an integer, the rational is a positive integer. zsqrtelqelz 16687 with all terms squared and positive. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posqsqznn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
posqsqznn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
posqsqznn.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
posqsqznn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem posqsqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posqsqznn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2	1	qred 12870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		posqsqznn.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 2, 4	ltled 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	2, 5	sqrtsqd 15345	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
7		posqsqznn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
8	6, 1	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ)
9		zsqrtelqelz 16687	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
11	6, 10	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		elnnz 12500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
13	11, 4, 12	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028   < clt 11168  ℕcn 12147  2c2 12202  ℤcz 12490  ℚcq 12863  ↑cexp 13986  √csqrt 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-numer 16664  df-denom 16665

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  42936  flt4lem6  42938