Theorem posqsqznn 41537

Description: When a positive rational squared is an integer, the rational is a positive integer. zsqrtelqelz 16699 with all terms squared and positive. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posqsqznn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
posqsqznn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
posqsqznn.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
posqsqznn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem posqsqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posqsqznn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2	1	qred 12944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		posqsqznn.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 2, 4	ltled 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	2, 5	sqrtsqd 15371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
7		posqsqznn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
8	6, 1	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ)
9		zsqrtelqelz 16699	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
11	6, 10	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		elnnz 12573	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
13	11, 4, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11113   < clt 11253  ℕcn 12217  2c2 12272  ℤcz 12563  ℚcq 12937  ↑cexp 14032  √csqrt 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  41701  flt4lem6  41703