Theorem posqsqznn 40264

Description: When a positive rational squared is an integer, the rational is a positive integer. zsqrtelqelz 16390 with all terms squared and positive. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
posqsqznn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
posqsqznn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
posqsqznn.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
posqsqznn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem posqsqznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posqsqznn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2	1	qred 12624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 10909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		posqsqznn.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 2, 4	ltled 11053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6	2, 5	sqrtsqd 15059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
7		posqsqznn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
8	6, 1	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ)
9		zsqrtelqelz 16390	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℚ) → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐴↑2)) ∈ ℤ)
11	6, 10	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		elnnz 12259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
13	11, 4, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   < clt 10940  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℚcq 12617  ↑cexp 13710  √csqrt 14872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368

This theorem is referenced by:  flt4lem5e  40409  flt4lem6  40411