Theorem divcan2d 11999

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111   / cdiv 11877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878

This theorem is used by:  nneo  12686  zeo2  12689  intfracq  13899  discr  14283  hashf1  14501  caurcvgr  15732  iseralt  15743  mertenslem1  15945  fprodle  16057  bpoly4  16119  tanadd  16229  divconjdvds  16379  mod2eq1n2dvds  16411  bitsmod  16500  mulgcd  16612  qredeq  16721  qredeu  16722  prmind2  16749  isprm5  16772  pythagtriplem19  16899  pcprendvds2  16907  pcpremul  16909  pcadd  16955  prmreclem1  16982  4sqlem19  17029  ablfac1lem  20146  pgpfac1lem3  20155  prmirredlem  21633  znrrg  21726  metnrmlem3  25030  lebnumlem3  25133  pcoass  25194  ipcau2  25404  4cphipval2  25412  minveclem3  25599  sca2rab  25682  ovolscalem1  25683  uniioombllem4  25756  uniioombl  25759  itg1mulc  25874  itg2const2  25911  dvrec  26125  dveflem  26149  lhop1  26184  vieta1  26484  elqaalem3  26493  abelthlem8  26613  tangtx  26681  tanregt0  26715  eff1olem  26724  eflogeq  26778  argregt0  26786  argrege0  26787  argimgt0  26788  cxpeq  26933  ang180lem5  26989  lawcoslem1  26991  isosctrlem2  26995  isosctrlem3  26996  heron  27014  dcubic1lem  27019  dcubic2  27020  dcubic1  27021  mcubic  27023  dquartlem1  27027  dquart  27029  quart1lem  27031  quart1  27032  quart  27037  atantayl2  27114  birthdaylem2  27128  ftalem5  27252  basellem3  27258  basellem4  27259  fsumdvdsdiaglem  27358  logexprlim  27400  mersenne  27402  perfectlem2  27405  perfect  27406  bposlem9  27467  lgsqrlem2  27522  lgseisenlem1  27550  lgseisenlem3  27552  lgsquadlem1  27555  lgsquad2lem1  27559  m1lgs  27563  2sqlem8  27601  rplogsumlem1  27659  dchrvmasumiflem2  27677  dchrisum0flblem2  27684  dchrisum0fno1  27686  dchrisum0lem1  27691  mulog2sumlem3  27711  selberglem2  27721  selberg3lem1  27732  selberg4lem1  27735  selberg3r  27744  selberg4r  27745  pntrlog2bndlem2  27753  pntlemg  27773  axsegconlem10  29287  axeuclidlem  29323  quad3d  33105  constrinvcl  34172  cos9thpiminplylem3  34183  oddpwdc  34753  subfacval2  35687  circum  36174  faclimlem1  36243  nn0prpwlem  36861  knoppndvlem19  37147  areacirclem1  38387  areacirclem4  38390  cntotbnd  38475  lcmineqlem23  42846  aks6d1c1p3  42905  aks6d1c2p2  42914  aks6d1c3  42918  aks6d1c2lem4  42922  unitscyglem2  42991  unitscyglem4  42993  quadfac  43000  oddnumth  43100  sumcubes  43102  zdivgd  43126  dffltz  43394  irrapxlem5  43581  pellexlem2  43585  jm2.22  43750  jm2.20nn  43752  sqrtcval  44395  nzss  45055  binomcxplemnotnn0  45094  oddfl  46025  xralrple3  46117  sumnnodd  46374  limclner  46393  stoweidlem62  46804  stirlinglem1  46816  dirkertrigeqlem2  46841  dirkertrigeqlem3  46842  fourierdlem66  46914  fourierdlem73  46921  fourierdlem87  46935  qndenserrnbllem  47036  hoiqssbllem2  47365  2tceilhalfelfzo1  48101  fmtnoprmfac2lem1  48346  sfprmdvdsmersenne  48383  dfeven4  48431  oddflALTV  48456  nn0onn0exALTV  48492  perfectALTVlem2  48515  perfectALTV  48516  nn0onn0ex  49331  affinecomb2  49511  line2ylem  49559  line2xlem  49561  itscnhlc0yqe  49567  itsclquadb  49584