Theorem divcan2d 11967

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   · cmul 11080   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  nneo  12625  zeo2  12628  intfracq  13828  discr  14212  hashf1  14429  caurcvgr  15647  iseralt  15658  mertenslem1  15857  fprodle  15969  bpoly4  16032  tanadd  16142  divconjdvds  16292  mod2eq1n2dvds  16324  bitsmod  16413  mulgcd  16525  qredeq  16634  qredeu  16635  prmind2  16662  isprm5  16684  pythagtriplem19  16811  pcprendvds2  16819  pcpremul  16821  pcadd  16867  prmreclem1  16894  4sqlem19  16941  ablfac1lem  20007  pgpfac1lem3  20016  prmirredlem  21389  znrrg  21482  metnrmlem3  24757  lebnumlem3  24869  pcoass  24931  ipcau2  25141  4cphipval2  25149  minveclem3  25336  sca2rab  25420  ovolscalem1  25421  uniioombllem4  25494  uniioombl  25497  itg1mulc  25612  itg2const2  25649  dvrec  25866  dveflem  25890  lhop1  25926  vieta1  26227  elqaalem3  26236  abelthlem8  26356  tangtx  26421  tanregt0  26455  eff1olem  26464  eflogeq  26518  argregt0  26526  argrege0  26527  argimgt0  26528  cxpeq  26674  ang180lem5  26730  lawcoslem1  26732  isosctrlem2  26736  isosctrlem3  26737  heron  26755  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  dcubic1  26762  mcubic  26764  dquartlem1  26768  dquart  26770  quart1lem  26772  quart1  26773  quart  26778  atantayl2  26855  birthdaylem2  26869  ftalem5  26994  basellem3  27000  basellem4  27001  fsumdvdsdiaglem  27100  logexprlim  27143  mersenne  27145  perfectlem2  27148  perfect  27149  bposlem9  27210  lgsqrlem2  27265  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem3  27295  lgsquadlem1  27298  lgsquad2lem1  27302  m1lgs  27306  2sqlem8  27344  rplogsumlem1  27402  dchrvmasumiflem2  27420  dchrisum0flblem2  27427  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lem1  27434  mulog2sumlem3  27454  selberglem2  27464  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg3r  27487  selberg4r  27488  pntrlog2bndlem2  27496  pntlemg  27516  axsegconlem10  28860  axeuclidlem  28896  quad3d  32680  constrinvcl  33770  cos9thpiminplylem3  33781  oddpwdc  34352  subfacval2  35181  circum  35668  faclimlem1  35737  nn0prpwlem  36317  knoppndvlem19  36525  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  cntotbnd  37797  lcmineqlem23  42046  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c2p2  42114  aks6d1c3  42118  aks6d1c2lem4  42122  unitscyglem2  42191  unitscyglem4  42193  oddnumth  42306  sumcubes  42308  zdivgd  42332  dffltz  42629  irrapxlem5  42821  pellexlem2  42825  jm2.22  42991  jm2.20nn  42993  sqrtcval  43637  nzss  44313  binomcxplemnotnn0  44352  oddfl  45283  xralrple3  45377  sumnnodd  45635  limclner  45656  stoweidlem62  46067  stirlinglem1  46079  dirkertrigeqlem2  46104  dirkertrigeqlem3  46105  fourierdlem66  46177  fourierdlem73  46184  fourierdlem87  46198  qndenserrnbllem  46299  hoiqssbllem2  46628  2tceilhalfelfzo1  47337  fmtnoprmfac2lem1  47571  sfprmdvdsmersenne  47608  dfeven4  47643  oddflALTV  47668  nn0onn0exALTV  47704  perfectALTVlem2  47727  perfectALTV  47728  nn0onn0ex  48516  affinecomb2  48696  line2ylem  48744  line2xlem  48746  itscnhlc0yqe  48752  itsclquadb  48769