Theorem divcan2d 11992

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099   · cmul 11104   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871

This theorem is referenced by:  nneo  12679  zeo2  12682  intfracq  13891  discr  14275  hashf1  14493  caurcvgr  15724  iseralt  15735  mertenslem1  15937  fprodle  16049  bpoly4  16112  tanadd  16222  divconjdvds  16372  mod2eq1n2dvds  16404  bitsmod  16493  mulgcd  16605  qredeq  16714  qredeu  16715  prmind2  16742  isprm5  16765  pythagtriplem19  16892  pcprendvds2  16900  pcpremul  16902  pcadd  16948  prmreclem1  16975  4sqlem19  17022  ablfac1lem  20139  pgpfac1lem3  20148  prmirredlem  21601  znrrg  21694  metnrmlem3  24998  lebnumlem3  25101  pcoass  25162  ipcau2  25372  4cphipval2  25380  minveclem3  25567  sca2rab  25650  ovolscalem1  25651  uniioombllem4  25724  uniioombl  25727  itg1mulc  25842  itg2const2  25879  dvrec  26093  dveflem  26117  lhop1  26152  vieta1  26452  elqaalem3  26461  abelthlem8  26578  tangtx  26646  tanregt0  26680  eff1olem  26689  eflogeq  26743  argregt0  26751  argrege0  26752  argimgt0  26753  cxpeq  26898  ang180lem5  26954  lawcoslem1  26956  isosctrlem2  26960  isosctrlem3  26961  heron  26979  dcubic1lem  26984  dcubic2  26985  dcubic1  26986  mcubic  26988  dquartlem1  26992  dquart  26994  quart1lem  26996  quart1  26997  quart  27002  atantayl2  27079  birthdaylem2  27093  ftalem5  27217  basellem3  27223  basellem4  27224  fsumdvdsdiaglem  27323  logexprlim  27365  mersenne  27367  perfectlem2  27370  perfect  27371  bposlem9  27432  lgsqrlem2  27487  lgseisenlem1  27515  lgseisenlem3  27517  lgsquadlem1  27520  lgsquad2lem1  27524  m1lgs  27528  2sqlem8  27566  rplogsumlem1  27624  dchrvmasumiflem2  27642  dchrisum0flblem2  27649  dchrisum0fno1  27651  dchrisum0lem1  27656  mulog2sumlem3  27676  selberglem2  27686  selberg3lem1  27697  selberg4lem1  27700  selberg3r  27709  selberg4r  27710  pntrlog2bndlem2  27718  pntlemg  27738  axsegconlem10  29242  axeuclidlem  29278  quad3d  33060  constrinvcl  34129  cos9thpiminplylem3  34140  oddpwdc  34710  subfacval2  35633  circum  36120  faclimlem1  36189  nn0prpwlem  36777  knoppndvlem19  37063  areacirclem1  38303  areacirclem4  38306  cntotbnd  38391  lcmineqlem23  42764  aks6d1c1p3  42823  aks6d1c2p2  42832  aks6d1c3  42836  aks6d1c2lem4  42840  unitscyglem2  42909  unitscyglem4  42911  quadfac  42918  oddnumth  43018  sumcubes  43020  zdivgd  43044  dffltz  43314  irrapxlem5  43501  pellexlem2  43505  jm2.22  43670  jm2.20nn  43672  sqrtcval  44315  nzss  44975  binomcxplemnotnn0  45014  oddfl  45945  xralrple3  46037  sumnnodd  46294  limclner  46313  stoweidlem62  46724  stirlinglem1  46736  dirkertrigeqlem2  46761  dirkertrigeqlem3  46762  fourierdlem66  46834  fourierdlem73  46841  fourierdlem87  46855  qndenserrnbllem  46956  hoiqssbllem2  47285  2tceilhalfelfzo1  48018  fmtnoprmfac2lem1  48263  sfprmdvdsmersenne  48300  dfeven4  48348  oddflALTV  48373  nn0onn0exALTV  48409  perfectALTVlem2  48432  perfectALTV  48433  nn0onn0ex  49248  affinecomb2  49428  line2ylem  49476  line2xlem  49478  itscnhlc0yqe  49484  itsclquadb  49501