Theorem divcan2d 12072

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11957	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  nneo  12727  zeo2  12730  intfracq  13910  discr  14289  hashf1  14506  caurcvgr  15722  iseralt  15733  mertenslem1  15932  fprodle  16044  bpoly4  16107  tanadd  16215  divconjdvds  16363  mod2eq1n2dvds  16395  bitsmod  16482  mulgcd  16595  qredeq  16704  qredeu  16705  prmind2  16732  isprm5  16754  pythagtriplem19  16880  pcprendvds2  16888  pcpremul  16890  pcadd  16936  prmreclem1  16963  4sqlem19  17010  ablfac1lem  20112  pgpfac1lem3  20121  prmirredlem  21506  znrrg  21607  metnrmlem3  24902  lebnumlem3  25014  pcoass  25076  ipcau2  25287  4cphipval2  25295  minveclem3  25482  sca2rab  25566  ovolscalem1  25567  uniioombllem4  25640  uniioombl  25643  itg1mulc  25759  itg2const2  25796  dvrec  26013  dveflem  26037  lhop1  26073  vieta1  26372  elqaalem3  26381  abelthlem8  26501  tangtx  26565  tanregt0  26599  eff1olem  26608  eflogeq  26662  argregt0  26670  argrege0  26671  argimgt0  26672  cxpeq  26818  ang180lem5  26874  lawcoslem1  26876  isosctrlem2  26880  isosctrlem3  26881  heron  26899  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic1  26906  mcubic  26908  dquartlem1  26912  dquart  26914  quart1lem  26916  quart1  26917  quart  26922  atantayl2  26999  birthdaylem2  27013  ftalem5  27138  basellem3  27144  basellem4  27145  fsumdvdsdiaglem  27244  logexprlim  27287  mersenne  27289  perfectlem2  27292  perfect  27293  bposlem9  27354  lgsqrlem2  27409  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem3  27439  lgsquadlem1  27442  lgsquad2lem1  27446  m1lgs  27450  2sqlem8  27488  rplogsumlem1  27546  dchrvmasumiflem2  27564  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1  27578  mulog2sumlem3  27598  selberglem2  27608  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg3r  27631  selberg4r  27632  pntrlog2bndlem2  27640  pntlemg  27660  axsegconlem10  28959  axeuclidlem  28995  quad3d  32757  oddpwdc  34319  subfacval2  35155  circum  35642  faclimlem1  35705  nn0prpwlem  36288  knoppndvlem19  36496  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  cntotbnd  37756  lcmineqlem23  42008  aks6d1c1p3  42067  aks6d1c2p2  42076  aks6d1c3  42080  aks6d1c2lem4  42084  unitscyglem2  42153  unitscyglem4  42155  oddnumth  42299  sumcubes  42301  zdivgd  42324  dffltz  42589  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  jm2.22  42952  jm2.20nn  42954  sqrtcval  43603  nzss  44286  binomcxplemnotnn0  44325  oddfl  45192  xralrple3  45289  sumnnodd  45551  limclner  45572  stoweidlem62  45983  stirlinglem1  45995  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  fourierdlem66  46093  fourierdlem73  46100  fourierdlem87  46114  qndenserrnbllem  46215  hoiqssbllem2  46544  fmtnoprmfac2lem1  47440  sfprmdvdsmersenne  47477  dfeven4  47512  oddflALTV  47537  nn0onn0exALTV  47573  perfectALTVlem2  47596  perfectALTV  47597  nn0onn0ex  48257  affinecomb2  48437  line2ylem  48485  line2xlem  48487  itscnhlc0yqe  48493  itsclquadb  48510