Theorem divcan2d 11407

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11295	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  nneo  12054  zeo2  12057  intfracq  13222  discr  13597  hashf1  13811  caurcvgr  15022  iseralt  15033  mertenslem1  15232  fprodle  15342  bpoly4  15405  tanadd  15512  divconjdvds  15657  mod2eq1n2dvds  15688  bitsmod  15775  mulgcd  15886  qredeq  15991  qredeu  15992  prmind2  16019  isprm5  16041  pythagtriplem19  16160  pcprendvds2  16168  pcpremul  16170  pcadd  16215  prmreclem1  16242  4sqlem19  16289  ablfac1lem  19183  pgpfac1lem3  19192  prmirredlem  20186  znrrg  20257  metnrmlem3  23466  lebnumlem3  23568  pcoass  23629  ipcau2  23838  4cphipval2  23846  minveclem3  24033  sca2rab  24116  ovolscalem1  24117  uniioombllem4  24190  uniioombl  24193  itg1mulc  24308  itg2const2  24345  dvrec  24558  dveflem  24582  lhop1  24617  vieta1  24908  elqaalem3  24917  abelthlem8  25034  tangtx  25098  tanregt0  25131  eff1olem  25140  eflogeq  25193  argregt0  25201  argrege0  25202  argimgt0  25203  cxpeq  25346  ang180lem5  25399  lawcoslem1  25401  isosctrlem2  25405  isosctrlem3  25406  heron  25424  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  dcubic1  25431  mcubic  25433  dquartlem1  25437  dquart  25439  quart1lem  25441  quart1  25442  quart  25447  atantayl2  25524  birthdaylem2  25538  ftalem5  25662  basellem3  25668  basellem4  25669  fsumdvdsdiaglem  25768  logexprlim  25809  mersenne  25811  perfectlem2  25814  perfect  25815  bposlem9  25876  lgsqrlem2  25931  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem3  25961  lgsquadlem1  25964  lgsquad2lem1  25968  m1lgs  25972  2sqlem8  26010  rplogsumlem1  26068  dchrvmasumiflem2  26086  dchrisum0flblem2  26093  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0lem1  26100  mulog2sumlem3  26120  selberglem2  26130  selberg3lem1  26141  selberg4lem1  26144  selberg3r  26153  selberg4r  26154  pntrlog2bndlem2  26162  pntlemg  26182  axsegconlem10  26720  axeuclidlem  26756  oddpwdc  31722  subfacval2  32547  circum  33030  faclimlem1  33088  nn0prpwlem  33783  knoppndvlem19  33982  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  cntotbnd  35234  lcmineqlem23  39339  dffltz  39615  irrapxlem5  39767  pellexlem2  39771  jm2.22  39936  jm2.20nn  39938  sqrtcval  40341  nzss  41021  binomcxplemnotnn0  41060  oddfl  41908  xralrple3  42006  sumnnodd  42272  limclner  42293  stoweidlem62  42704  stirlinglem1  42716  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  fourierdlem66  42814  fourierdlem73  42821  fourierdlem87  42835  qndenserrnbllem  42936  hoiqssbllem2  43262  fmtnoprmfac2lem1  44083  sfprmdvdsmersenne  44121  dfeven4  44156  oddflALTV  44181  nn0onn0exALTV  44217  perfectALTVlem2  44240  perfectALTV  44241  nn0onn0ex  44937  affinecomb2  45117  line2ylem  45165  line2xlem  45167  itscnhlc0yqe  45173  itsclquadb  45190