Theorem divcan2d 11136

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1494	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259   · cmul 10264   / cdiv 11016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017

This theorem is referenced by:  nneo  11796  zeo2  11799  intfracq  12960  discr  13302  hashf1  13537  caurcvgr  14788  iseralt  14799  mertenslem1  14996  fprodle  15106  bpoly4  15169  tanadd  15276  divconjdvds  15421  mod2eq1n2dvds  15452  bitsmod  15538  mulgcd  15645  qredeq  15750  qredeu  15751  prmind2  15777  isprm5  15797  pythagtriplem19  15916  pcprendvds2  15924  pcpremul  15926  pcadd  15971  prmreclem1  15998  4sqlem19  16045  ablfac1lem  18828  pgpfac1lem3  18837  prmirredlem  20208  znrrg  20280  metnrmlem3  23041  lebnumlem3  23139  pcoass  23200  ipcau2  23409  4cphipval2  23417  minveclem3  23604  sca2rab  23685  ovolscalem1  23686  uniioombllem4  23759  uniioombl  23762  itg1mulc  23877  itg2const2  23914  dvrec  24124  dveflem  24148  lhop1  24183  vieta1  24473  elqaalem3  24482  abelthlem8  24599  tangtx  24664  tanregt0  24692  eff1olem  24701  eflogeq  24754  argregt0  24762  argrege0  24763  argimgt0  24764  cxpeq  24907  ang180lem5  24960  lawcoslem1  24962  isosctrlem2  24966  isosctrlem3  24967  heron  24985  dcubic1lem  24990  dcubic2  24991  dcubic1  24992  mcubic  24994  dquartlem1  24998  dquart  25000  quart1lem  25002  quart1  25003  quart  25008  atantayl2  25085  birthdaylem2  25099  ftalem5  25223  basellem3  25229  basellem4  25230  fsumdvdsdiaglem  25329  logexprlim  25370  mersenne  25372  perfectlem2  25375  perfect  25376  bposlem9  25437  lgsqrlem2  25492  lgseisenlem1  25520  lgseisenlem3  25522  lgsquadlem1  25525  lgsquad2lem1  25529  m1lgs  25533  2sqlem8  25571  rplogsumlem1  25593  dchrvmasumiflem2  25611  dchrisum0flblem2  25618  dchrisum0fno1  25620  dchrisum0lem1  25625  mulog2sumlem3  25645  selberglem2  25655  selberg3lem1  25666  selberg4lem1  25669  selberg3r  25678  selberg4r  25679  pntrlog2bndlem2  25687  pntlemg  25707  axsegconlem10  26232  axeuclidlem  26268  oddpwdc  30957  subfacval2  31711  circum  32108  faclimlem1  32167  nn0prpwlem  32850  knoppndvlem19  33048  areacirclem1  34038  areacirclem4  34041  cntotbnd  34132  dffltz  38092  irrapxlem5  38229  pellexlem2  38233  jm2.22  38400  jm2.20nn  38402  nzss  39351  binomcxplemnotnn0  39390  oddfl  40282  xralrple3  40381  sumnnodd  40651  limclner  40672  stoweidlem62  41067  stirlinglem1  41079  dirkertrigeqlem2  41104  dirkertrigeqlem3  41105  fourierdlem66  41177  fourierdlem73  41184  fourierdlem87  41198  qndenserrnbllem  41299  hoiqssbllem2  41625  fmtnoprmfac2lem1  42322  sfprmdvdsmersenne  42364  dfeven4  42395  oddflALTV  42419  nn0onn0exALTV  42453  perfectALTVlem2  42475  perfectALTV  42476  nn0onn0ex  43179  affinecomb2  43285  line2ylem  43313  line2xlem  43315  itsclc0lem1  43318