Theorem divcan2d 11960

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  nneo  12618  zeo2  12621  intfracq  13821  discr  14205  hashf1  14422  caurcvgr  15640  iseralt  15651  mertenslem1  15850  fprodle  15962  bpoly4  16025  tanadd  16135  divconjdvds  16285  mod2eq1n2dvds  16317  bitsmod  16406  mulgcd  16518  qredeq  16627  qredeu  16628  prmind2  16655  isprm5  16677  pythagtriplem19  16804  pcprendvds2  16812  pcpremul  16814  pcadd  16860  prmreclem1  16887  4sqlem19  16934  ablfac1lem  20000  pgpfac1lem3  20009  prmirredlem  21382  znrrg  21475  metnrmlem3  24750  lebnumlem3  24862  pcoass  24924  ipcau2  25134  4cphipval2  25142  minveclem3  25329  sca2rab  25413  ovolscalem1  25414  uniioombllem4  25487  uniioombl  25490  itg1mulc  25605  itg2const2  25642  dvrec  25859  dveflem  25883  lhop1  25919  vieta1  26220  elqaalem3  26229  abelthlem8  26349  tangtx  26414  tanregt0  26448  eff1olem  26457  eflogeq  26511  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  cxpeq  26667  ang180lem5  26723  lawcoslem1  26725  isosctrlem2  26729  isosctrlem3  26730  heron  26748  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  dcubic1  26755  mcubic  26757  dquartlem1  26761  dquart  26763  quart1lem  26765  quart1  26766  quart  26771  atantayl2  26848  birthdaylem2  26862  ftalem5  26987  basellem3  26993  basellem4  26994  fsumdvdsdiaglem  27093  logexprlim  27136  mersenne  27138  perfectlem2  27141  perfect  27142  bposlem9  27203  lgsqrlem2  27258  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem3  27288  lgsquadlem1  27291  lgsquad2lem1  27295  m1lgs  27299  2sqlem8  27337  rplogsumlem1  27395  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lem1  27427  mulog2sumlem3  27447  selberglem2  27457  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg3r  27480  selberg4r  27481  pntrlog2bndlem2  27489  pntlemg  27509  axsegconlem10  28853  axeuclidlem  28889  quad3d  32673  constrinvcl  33763  cos9thpiminplylem3  33774  oddpwdc  34345  subfacval2  35174  circum  35661  faclimlem1  35730  nn0prpwlem  36310  knoppndvlem19  36518  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  cntotbnd  37790  lcmineqlem23  42039  aks6d1c1p3  42098  aks6d1c2p2  42107  aks6d1c3  42111  aks6d1c2lem4  42115  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  oddnumth  42299  sumcubes  42301  zdivgd  42325  dffltz  42622  irrapxlem5  42814  pellexlem2  42818  jm2.22  42984  jm2.20nn  42986  sqrtcval  43630  nzss  44306  binomcxplemnotnn0  44345  oddfl  45276  xralrple3  45370  sumnnodd  45628  limclner  45649  stoweidlem62  46060  stirlinglem1  46072  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  fourierdlem66  46170  fourierdlem73  46177  fourierdlem87  46191  qndenserrnbllem  46292  hoiqssbllem2  46621  2tceilhalfelfzo1  47333  fmtnoprmfac2lem1  47567  sfprmdvdsmersenne  47604  dfeven4  47639  oddflALTV  47664  nn0onn0exALTV  47700  perfectALTVlem2  47723  perfectALTV  47724  nn0onn0ex  48512  affinecomb2  48692  line2ylem  48740  line2xlem  48742  itscnhlc0yqe  48748  itsclquadb  48765