Theorem divcan2d 12045

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  nneo  12702  zeo2  12705  intfracq  13899  discr  14279  hashf1  14496  caurcvgr  15710  iseralt  15721  mertenslem1  15920  fprodle  16032  bpoly4  16095  tanadd  16203  divconjdvds  16352  mod2eq1n2dvds  16384  bitsmod  16473  mulgcd  16585  qredeq  16694  qredeu  16695  prmind2  16722  isprm5  16744  pythagtriplem19  16871  pcprendvds2  16879  pcpremul  16881  pcadd  16927  prmreclem1  16954  4sqlem19  17001  ablfac1lem  20088  pgpfac1lem3  20097  prmirredlem  21483  znrrg  21584  metnrmlem3  24883  lebnumlem3  24995  pcoass  25057  ipcau2  25268  4cphipval2  25276  minveclem3  25463  sca2rab  25547  ovolscalem1  25548  uniioombllem4  25621  uniioombl  25624  itg1mulc  25739  itg2const2  25776  dvrec  25993  dveflem  26017  lhop1  26053  vieta1  26354  elqaalem3  26363  abelthlem8  26483  tangtx  26547  tanregt0  26581  eff1olem  26590  eflogeq  26644  argregt0  26652  argrege0  26653  argimgt0  26654  cxpeq  26800  ang180lem5  26856  lawcoslem1  26858  isosctrlem2  26862  isosctrlem3  26863  heron  26881  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  dcubic1  26888  mcubic  26890  dquartlem1  26894  dquart  26896  quart1lem  26898  quart1  26899  quart  26904  atantayl2  26981  birthdaylem2  26995  ftalem5  27120  basellem3  27126  basellem4  27127  fsumdvdsdiaglem  27226  logexprlim  27269  mersenne  27271  perfectlem2  27274  perfect  27275  bposlem9  27336  lgsqrlem2  27391  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem3  27421  lgsquadlem1  27424  lgsquad2lem1  27428  m1lgs  27432  2sqlem8  27470  rplogsumlem1  27528  dchrvmasumiflem2  27546  dchrisum0flblem2  27553  dchrisum0fno1  27555  dchrisum0lem1  27560  mulog2sumlem3  27580  selberglem2  27590  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  selberg3r  27613  selberg4r  27614  pntrlog2bndlem2  27622  pntlemg  27642  axsegconlem10  28941  axeuclidlem  28977  quad3d  32754  oddpwdc  34356  subfacval2  35192  circum  35679  faclimlem1  35743  nn0prpwlem  36323  knoppndvlem19  36531  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  cntotbnd  37803  lcmineqlem23  42052  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c2p2  42120  aks6d1c3  42124  aks6d1c2lem4  42128  unitscyglem2  42197  unitscyglem4  42199  oddnumth  42345  sumcubes  42347  zdivgd  42372  dffltz  42644  irrapxlem5  42837  pellexlem2  42841  jm2.22  43007  jm2.20nn  43009  sqrtcval  43654  nzss  44336  binomcxplemnotnn0  44375  oddfl  45289  xralrple3  45385  sumnnodd  45645  limclner  45666  stoweidlem62  46077  stirlinglem1  46089  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  fourierdlem66  46187  fourierdlem73  46194  fourierdlem87  46208  qndenserrnbllem  46309  hoiqssbllem2  46638  fmtnoprmfac2lem1  47553  sfprmdvdsmersenne  47590  dfeven4  47625  oddflALTV  47650  nn0onn0exALTV  47686  perfectALTVlem2  47709  perfectALTV  47710  2tceilhalfelfzo1  48018  nn0onn0ex  48444  affinecomb2  48624  line2ylem  48672  line2xlem  48674  itscnhlc0yqe  48680  itsclquadb  48697