MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan2d 11407
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan2d (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan2 11295 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526   · cmul 10531   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  nneo  12055  zeo2  12058  intfracq  13217  discr  13591  hashf1  13805  caurcvgr  15020  iseralt  15031  mertenslem1  15230  fprodle  15340  bpoly4  15403  tanadd  15510  divconjdvds  15655  mod2eq1n2dvds  15686  bitsmod  15775  mulgcd  15886  qredeq  15991  qredeu  15992  prmind2  16019  isprm5  16041  pythagtriplem19  16160  pcprendvds2  16168  pcpremul  16170  pcadd  16215  prmreclem1  16242  4sqlem19  16289  ablfac1lem  19110  pgpfac1lem3  19119  prmirredlem  20556  znrrg  20628  metnrmlem3  23384  lebnumlem3  23482  pcoass  23543  ipcau2  23752  4cphipval2  23760  minveclem3  23947  sca2rab  24028  ovolscalem1  24029  uniioombllem4  24102  uniioombl  24105  itg1mulc  24220  itg2const2  24257  dvrec  24467  dveflem  24491  lhop1  24526  vieta1  24816  elqaalem3  24825  abelthlem8  24942  tangtx  25006  tanregt0  25036  eff1olem  25045  eflogeq  25098  argregt0  25106  argrege0  25107  argimgt0  25108  cxpeq  25251  ang180lem5  25304  lawcoslem1  25306  isosctrlem2  25310  isosctrlem3  25311  heron  25329  dcubic1lem  25334  dcubic2  25335  dcubic1  25336  mcubic  25338  dquartlem1  25342  dquart  25344  quart1lem  25346  quart1  25347  quart  25352  atantayl2  25429  birthdaylem2  25444  ftalem5  25568  basellem3  25574  basellem4  25575  fsumdvdsdiaglem  25674  logexprlim  25715  mersenne  25717  perfectlem2  25720  perfect  25721  bposlem9  25782  lgsqrlem2  25837  lgseisenlem1  25865  lgseisenlem3  25867  lgsquadlem1  25870  lgsquad2lem1  25874  m1lgs  25878  2sqlem8  25916  rplogsumlem1  25974  dchrvmasumiflem2  25992  dchrisum0flblem2  25999  dchrisum0fno1  26001  dchrisum0lem1  26006  mulog2sumlem3  26026  selberglem2  26036  selberg3lem1  26047  selberg4lem1  26050  selberg3r  26059  selberg4r  26060  pntrlog2bndlem2  26068  pntlemg  26088  axsegconlem10  26626  axeuclidlem  26662  oddpwdc  31498  subfacval2  32318  circum  32801  faclimlem1  32859  nn0prpwlem  33554  knoppndvlem19  33753  areacirclem1  34849  areacirclem4  34852  cntotbnd  34942  dffltz  39136  irrapxlem5  39288  pellexlem2  39292  jm2.22  39457  jm2.20nn  39459  nzss  40514  binomcxplemnotnn0  40553  oddfl  41408  xralrple3  41507  sumnnodd  41776  limclner  41797  stoweidlem62  42213  stirlinglem1  42225  dirkertrigeqlem2  42250  dirkertrigeqlem3  42251  fourierdlem66  42323  fourierdlem73  42330  fourierdlem87  42344  qndenserrnbllem  42445  hoiqssbllem2  42771  fmtnoprmfac2lem1  43560  sfprmdvdsmersenne  43600  dfeven4  43635  oddflALTV  43660  nn0onn0exALTV  43696  perfectALTVlem2  43719  perfectALTV  43720  nn0onn0ex  44415  affinecomb2  44522  line2ylem  44570  line2xlem  44572  itscnhlc0yqe  44578  itsclquadb  44595
  Copyright terms: Public domain W3C validator