Theorem divcan2d 11999

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116   · cmul 11121   / cdiv 11878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879

This theorem is referenced by:  nneo  12653  zeo2  12656  intfracq  13831  discr  14210  hashf1  14425  caurcvgr  15627  iseralt  15638  mertenslem1  15837  fprodle  15947  bpoly4  16010  tanadd  16117  divconjdvds  16265  mod2eq1n2dvds  16297  bitsmod  16384  mulgcd  16497  qredeq  16601  qredeu  16602  prmind2  16629  isprm5  16651  pythagtriplem19  16773  pcprendvds2  16781  pcpremul  16783  pcadd  16829  prmreclem1  16856  4sqlem19  16903  ablfac1lem  19986  pgpfac1lem3  19995  prmirredlem  21332  znrrg  21431  metnrmlem3  24697  lebnumlem3  24809  pcoass  24871  ipcau2  25082  4cphipval2  25090  minveclem3  25277  sca2rab  25361  ovolscalem1  25362  uniioombllem4  25435  uniioombl  25438  itg1mulc  25554  itg2const2  25591  dvrec  25807  dveflem  25831  lhop1  25867  vieta1  26164  elqaalem3  26173  abelthlem8  26291  tangtx  26355  tanregt0  26388  eff1olem  26397  eflogeq  26450  argregt0  26458  argrege0  26459  argimgt0  26460  cxpeq  26606  ang180lem5  26659  lawcoslem1  26661  isosctrlem2  26665  isosctrlem3  26666  heron  26684  dcubic1lem  26689  dcubic2  26690  dcubic1  26691  mcubic  26693  dquartlem1  26697  dquart  26699  quart1lem  26701  quart1  26702  quart  26707  atantayl2  26784  birthdaylem2  26798  ftalem5  26923  basellem3  26929  basellem4  26930  fsumdvdsdiaglem  27029  logexprlim  27072  mersenne  27074  perfectlem2  27077  perfect  27078  bposlem9  27139  lgsqrlem2  27194  lgseisenlem1  27222  lgseisenlem3  27224  lgsquadlem1  27227  lgsquad2lem1  27231  m1lgs  27235  2sqlem8  27273  rplogsumlem1  27331  dchrvmasumiflem2  27349  dchrisum0flblem2  27356  dchrisum0fno1  27358  dchrisum0lem1  27363  mulog2sumlem3  27383  selberglem2  27393  selberg3lem1  27404  selberg4lem1  27407  selberg3r  27416  selberg4r  27417  pntrlog2bndlem2  27425  pntlemg  27445  axsegconlem10  28618  axeuclidlem  28654  oddpwdc  33818  subfacval2  34643  circum  35124  faclimlem1  35184  nn0prpwlem  35673  knoppndvlem19  35872  areacirclem1  37042  areacirclem4  37045  cntotbnd  37130  lcmineqlem23  41385  aks6d1c2p2  41426  oddnumth  41674  sumcubes  41676  dffltz  41841  irrapxlem5  42029  pellexlem2  42033  jm2.22  42199  jm2.20nn  42201  sqrtcval  42857  nzss  43541  binomcxplemnotnn0  43580  oddfl  44448  xralrple3  44545  sumnnodd  44807  limclner  44828  stoweidlem62  45239  stirlinglem1  45251  dirkertrigeqlem2  45276  dirkertrigeqlem3  45277  fourierdlem66  45349  fourierdlem73  45356  fourierdlem87  45370  qndenserrnbllem  45471  hoiqssbllem2  45800  fmtnoprmfac2lem1  46695  sfprmdvdsmersenne  46732  dfeven4  46767  oddflALTV  46792  nn0onn0exALTV  46828  perfectALTVlem2  46851  perfectALTV  46852  nn0onn0ex  47373  affinecomb2  47553  line2ylem  47601  line2xlem  47603  itscnhlc0yqe  47609  itsclquadb  47626