Theorem divcan2d 11933

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  nneo  12613  zeo2  12616  intfracq  13818  discr  14202  hashf1  14419  caurcvgr  15636  iseralt  15647  mertenslem1  15849  fprodle  15961  bpoly4  16024  tanadd  16134  divconjdvds  16284  mod2eq1n2dvds  16316  bitsmod  16405  mulgcd  16517  qredeq  16626  qredeu  16627  prmind2  16654  isprm5  16677  pythagtriplem19  16804  pcprendvds2  16812  pcpremul  16814  pcadd  16860  prmreclem1  16887  4sqlem19  16934  ablfac1lem  20045  pgpfac1lem3  20054  prmirredlem  21452  znrrg  21545  metnrmlem3  24827  lebnumlem3  24930  pcoass  24991  ipcau2  25201  4cphipval2  25209  minveclem3  25396  sca2rab  25479  ovolscalem1  25480  uniioombllem4  25553  uniioombl  25556  itg1mulc  25671  itg2const2  25708  dvrec  25922  dveflem  25946  lhop1  25981  vieta1  26278  elqaalem3  26287  abelthlem8  26404  tangtx  26469  tanregt0  26503  eff1olem  26512  eflogeq  26566  argregt0  26574  argrege0  26575  argimgt0  26576  cxpeq  26721  ang180lem5  26777  lawcoslem1  26779  isosctrlem2  26783  isosctrlem3  26784  heron  26802  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dcubic1  26809  mcubic  26811  dquartlem1  26815  dquart  26817  quart1lem  26819  quart1  26820  quart  26825  atantayl2  26902  birthdaylem2  26916  ftalem5  27040  basellem3  27046  basellem4  27047  fsumdvdsdiaglem  27146  logexprlim  27188  mersenne  27190  perfectlem2  27193  perfect  27194  bposlem9  27255  lgsqrlem2  27310  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem3  27340  lgsquadlem1  27343  lgsquad2lem1  27347  m1lgs  27351  2sqlem8  27389  rplogsumlem1  27447  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1  27479  mulog2sumlem3  27499  selberglem2  27509  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg3r  27532  selberg4r  27533  pntrlog2bndlem2  27541  pntlemg  27561  axsegconlem10  28995  axeuclidlem  29031  quad3d  32822  constrinvcl  33917  cos9thpiminplylem3  33928  oddpwdc  34498  subfacval2  35369  circum  35856  faclimlem1  35925  nn0prpwlem  36504  knoppndvlem19  36790  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  cntotbnd  38117  lcmineqlem23  42490  aks6d1c1p3  42549  aks6d1c2p2  42558  aks6d1c3  42562  aks6d1c2lem4  42566  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  oddnumth  42743  sumcubes  42745  zdivgd  42769  dffltz  43067  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  jm2.22  43423  jm2.20nn  43425  sqrtcval  44068  nzss  44744  binomcxplemnotnn0  44783  oddfl  45711  xralrple3  45803  sumnnodd  46060  limclner  46079  stoweidlem62  46490  stirlinglem1  46502  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  fourierdlem66  46600  fourierdlem73  46607  fourierdlem87  46621  qndenserrnbllem  46722  hoiqssbllem2  47051  2tceilhalfelfzo1  47778  fmtnoprmfac2lem1  48023  sfprmdvdsmersenne  48060  dfeven4  48108  oddflALTV  48133  nn0onn0exALTV  48169  perfectALTVlem2  48192  perfectALTV  48193  nn0onn0ex  48993  affinecomb2  49173  line2ylem  49221  line2xlem  49223  itscnhlc0yqe  49229  itsclquadb  49246