Theorem divcan2d 11980

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11864	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1392	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  0cc0 11084   · cmul 11089   / cdiv 11855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856

This theorem is referenced by:  nneo  12667  zeo2  12670  intfracq  13879  discr  14263  hashf1  14480  caurcvgr  15711  iseralt  15722  mertenslem1  15924  fprodle  16036  bpoly4  16099  tanadd  16209  divconjdvds  16359  mod2eq1n2dvds  16391  bitsmod  16480  mulgcd  16592  qredeq  16701  qredeu  16702  prmind2  16729  isprm5  16752  pythagtriplem19  16879  pcprendvds2  16887  pcpremul  16889  pcadd  16935  prmreclem1  16962  4sqlem19  17009  ablfac1lem  20120  pgpfac1lem3  20129  prmirredlem  21531  znrrg  21624  metnrmlem3  24929  lebnumlem3  25032  pcoass  25093  ipcau2  25303  4cphipval2  25311  minveclem3  25498  sca2rab  25581  ovolscalem1  25582  uniioombllem4  25655  uniioombl  25658  itg1mulc  25773  itg2const2  25810  dvrec  26024  dveflem  26048  lhop1  26083  vieta1  26383  elqaalem3  26392  abelthlem8  26509  tangtx  26577  tanregt0  26611  eff1olem  26620  eflogeq  26674  argregt0  26682  argrege0  26683  argimgt0  26684  cxpeq  26829  ang180lem5  26885  lawcoslem1  26887  isosctrlem2  26891  isosctrlem3  26892  heron  26910  dcubic1lem  26915  dcubic2  26916  dcubic1  26917  mcubic  26919  dquartlem1  26923  dquart  26925  quart1lem  26927  quart1  26928  quart  26933  atantayl2  27010  birthdaylem2  27024  ftalem5  27148  basellem3  27154  basellem4  27155  fsumdvdsdiaglem  27254  logexprlim  27296  mersenne  27298  perfectlem2  27301  perfect  27302  bposlem9  27363  lgsqrlem2  27418  lgseisenlem1  27446  lgseisenlem3  27448  lgsquadlem1  27451  lgsquad2lem1  27455  m1lgs  27459  2sqlem8  27497  rplogsumlem1  27555  dchrvmasumiflem2  27573  dchrisum0flblem2  27580  dchrisum0fno1  27582  dchrisum0lem1  27587  mulog2sumlem3  27607  selberglem2  27617  selberg3lem1  27628  selberg4lem1  27631  selberg3r  27640  selberg4r  27641  pntrlog2bndlem2  27649  pntlemg  27669  axsegconlem10  29134  axeuclidlem  29170  quad3d  32957  constrinvcl  34072  cos9thpiminplylem3  34083  oddpwdc  34653  subfacval2  35542  circum  36029  faclimlem1  36098  nn0prpwlem  36687  knoppndvlem19  36973  areacirclem1  38212  areacirclem4  38215  cntotbnd  38300  lcmineqlem23  42673  aks6d1c1p3  42732  aks6d1c2p2  42741  aks6d1c3  42745  aks6d1c2lem4  42749  unitscyglem2  42818  unitscyglem4  42820  oddnumth  42925  sumcubes  42927  zdivgd  42951  dffltz  43221  irrapxlem5  43408  pellexlem2  43412  jm2.22  43577  jm2.20nn  43579  sqrtcval  44222  nzss  44884  binomcxplemnotnn0  44923  oddfl  45848  xralrple3  45940  sumnnodd  46197  limclner  46216  stoweidlem62  46627  stirlinglem1  46639  dirkertrigeqlem2  46664  dirkertrigeqlem3  46665  fourierdlem66  46737  fourierdlem73  46744  fourierdlem87  46758  qndenserrnbllem  46859  hoiqssbllem2  47188  2tceilhalfelfzo1  47921  fmtnoprmfac2lem1  48166  sfprmdvdsmersenne  48203  dfeven4  48251  oddflALTV  48276  nn0onn0exALTV  48312  perfectALTVlem2  48335  perfectALTV  48336  nn0onn0ex  49136  affinecomb2  49316  line2ylem  49364  line2xlem  49366  itscnhlc0yqe  49372  itsclquadb  49389