Theorem divcan2d 12020

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132   / cdiv 11898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899

This theorem is used by:  nneo  12708  zeo2  12711  intfracq  13922  discr  14306  hashf1  14524  caurcvgr  15763  iseralt  15774  mertenslem1  15975  fprodle  16087  bpoly4  16149  tanadd  16259  divconjdvds  16409  mod2eq1n2dvds  16441  bitsmod  16530  mulgcd  16642  qredeq  16751  qredeu  16752  prmind2  16779  isprm5  16802  pythagtriplem19  16929  pcprendvds2  16937  pcpremul  16939  pcadd  16985  prmreclem1  17012  4sqlem19  17059  ablfac1lem  20198  pgpfac1lem3  20207  prmirredlem  21686  znrrg  21779  metnrmlem3  25089  lebnumlem3  25192  pcoass  25253  ipcau2  25463  4cphipval2  25471  minveclem3  25658  sca2rab  25741  ovolscalem1  25742  uniioombllem4  25815  uniioombl  25818  itg1mulc  25933  itg2const2  25970  dvrec  26184  dveflem  26208  lhop1  26243  vieta1  26543  elqaalem3  26552  abelthlem8  26672  tangtx  26740  tanregt0  26774  eff1olem  26783  eflogeq  26837  argregt0  26845  argrege0  26846  argimgt0  26847  cxpeq  26992  ang180lem5  27048  lawcoslem1  27050  isosctrlem2  27054  isosctrlem3  27055  heron  27073  dcubic1lem  27078  dcubic2  27079  dcubic1  27080  mcubic  27082  dquartlem1  27086  dquart  27088  quart1lem  27090  quart1  27091  quart  27096  atantayl2  27173  birthdaylem2  27187  ftalem5  27311  basellem3  27317  basellem4  27318  fsumdvdsdiaglem  27417  logexprlim  27459  mersenne  27461  perfectlem2  27464  perfect  27465  bposlem9  27526  lgsqrlem2  27581  lgseisenlem1  27609  lgseisenlem3  27611  lgsquadlem1  27614  lgsquad2lem1  27618  m1lgs  27622  2sqlem8  27660  rplogsumlem1  27718  dchrvmasumiflem2  27736  dchrisum0flblem2  27743  dchrisum0fno1  27745  dchrisum0lem1  27750  mulog2sumlem3  27770  selberglem2  27780  selberg3lem1  27791  selberg4lem1  27794  selberg3r  27803  selberg4r  27804  pntrlog2bndlem2  27812  pntlemg  27832  axsegconlem10  29369  axeuclidlem  29405  quad3d  33207  constrinvcl  34270  cos9thpiminplylem3  34281  oddpwdc  34852  subfacval2  35753  circum  36240  faclimlem1  36309  nn0prpwlem  36928  knoppndvlem19  37214  areacirclem1  38444  areacirclem4  38447  cntotbnd  38533  lcmineqlem23  42904  aks6d1c1p3  42963  aks6d1c2p2  42972  aks6d1c3  42976  aks6d1c2lem4  42980  unitscyglem2  43049  unitscyglem4  43051  quadfac  43058  oddnumth  43173  sumcubes  43175  zdivgd  43199  dffltz  43467  irrapxlem5  43654  pellexlem2  43658  jm2.22  43823  jm2.20nn  43825  sqrtcval  44468  nzss  45128  binomcxplemnotnn0  45167  oddfl  46098  xralrple3  46190  sumnnodd  46447  limclner  46466  stoweidlem62  46877  stirlinglem1  46889  dirkertrigeqlem2  46914  dirkertrigeqlem3  46915  fourierdlem66  46987  fourierdlem73  46994  fourierdlem87  47008  qndenserrnbllem  47109  hoiqssbllem2  47438  2tceilhalfelfzo1  48211  fmtnoprmfac2lem1  48456  sfprmdvdsmersenne  48493  dfeven4  48541  oddflALTV  48566  nn0onn0exALTV  48602  perfectALTVlem2  48625  perfectALTV  48626  nn0onn0ex  49440  affinecomb2  49620  line2ylem  49668  line2xlem  49670  itscnhlc0yqe  49676  itsclquadb  49693