Theorem divcan2d 12122

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 12009	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  nneo  12810  zeo2  12813  intfracq  14026  discr  14411  hashf1  14629  caurcvgr  15870  iseralt  15881  mertenslem1  16082  fprodle  16192  bpoly4  16254  tanadd  16364  divconjdvds  16514  mod2eq1n2dvds  16546  bitsmod  16635  mulgcd  16750  qredeq  16861  qredeu  16862  prmind2  16889  isprm5  16912  pythagtriplem19  17040  pcprendvds2  17048  pcpremul  17050  pcadd  17096  prmreclem1  17123  4sqlem19  17170  ablfac1lem  20314  pgpfac1lem3  20323  prmirredlem  21808  znrrg  21901  metnrmlem3  25211  lebnumlem3  25314  pcoass  25375  ipcau2  25585  4cphipval2  25593  minveclem3  25780  sca2rab  25863  ovolscalem1  25864  uniioombllem4  25937  uniioombl  25940  itg1mulc  26055  itg2const2  26092  dvrec  26305  dveflem  26329  lhop1  26364  vieta1  26665  elqaalem3  26674  abelthlem8  26796  tangtx  26864  tanregt0  26897  eff1olem  26906  eflogeq  26960  argregt0  26968  argrege0  26969  argimgt0  26970  cxpeq  27115  ang180lem5  27171  lawcoslem1  27173  isosctrlem2  27177  isosctrlem3  27178  heron  27196  dcubic1lem  27201  dcubic2  27202  dcubic1  27203  mcubic  27205  dquartlem1  27209  dquart  27211  quart1lem  27213  quart1  27214  quart  27219  atantayl2  27296  birthdaylem2  27310  ftalem5  27434  basellem3  27440  basellem4  27441  fsumdvdsdiaglem  27540  logexprlim  27582  mersenne  27584  perfectlem2  27587  perfect  27588  bposlem9  27649  lgsqrlem2  27704  lgseisenlem1  27732  lgseisenlem3  27734  lgsquadlem1  27737  lgsquad2lem1  27741  m1lgs  27745  2sqlem8  27783  rplogsumlem1  27841  dchrvmasumiflem2  27859  dchrisum0flblem2  27866  dchrisum0fno1  27868  dchrisum0lem1  27873  mulog2sumlem3  27893  selberglem2  27903  selberg3lem1  27914  selberg4lem1  27917  selberg3r  27926  selberg4r  27927  pntrlog2bndlem2  27935  pntlemg  27955  axsegconlem10  29534  axeuclidlem  29570  quad3d  33411  constrinvcl  34475  cos9thpiminplylem3  34486  oddpwdc  35056  subfacval2  36119  circum  36606  faclimlem1  36686  nn0prpwlem  37288  knoppndvlem19  37574  areacirclem1  38818  areacirclem4  38821  cntotbnd  38922  lcmineqlem23  43293  aks6d1c1p3  43352  aks6d1c2p2  43361  aks6d1c3  43365  aks6d1c2lem4  43369  unitscyglem2  43438  unitscyglem4  43440  quadfac  43447  oddnumth  43561  sumcubes  43563  zdivgd  43581  dffltz  43863  irrapxlem5  44026  pellexlem2  44030  jm2.22  44195  jm2.20nn  44197  sqrtcval  44833  nzss  45493  binomcxplemnotnn0  45532  oddfl  46499  xralrple3  46590  sumnnodd  46847  limclner  46866  stoweidlem62  47277  stirlinglem1  47289  dirkertrigeqlem2  47314  dirkertrigeqlem3  47315  fourierdlem66  47387  fourierdlem73  47394  fourierdlem87  47408  qndenserrnbllem  47509  hoiqssbllem2  47838  2tceilhalfelfzo1  48611  fmtnoprmfac2lem1  48856  sfprmdvdsmersenne  48893  dfeven4  48941  oddflALTV  48966  nn0onn0exALTV  49002  perfectALTVlem2  49025  perfectALTV  49026  nn0onn0ex  49840  affinecomb2  50020  line2ylem  50068  line2xlem  50070  itscnhlc0yqe  50076  itsclquadb  50093