Theorem divcan2d 11991

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11879	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109   · cmul 11114   / cdiv 11870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871

This theorem is referenced by:  nneo  12645  zeo2  12648  intfracq  13823  discr  14202  hashf1  14417  caurcvgr  15619  iseralt  15630  mertenslem1  15829  fprodle  15939  bpoly4  16002  tanadd  16109  divconjdvds  16257  mod2eq1n2dvds  16289  bitsmod  16376  mulgcd  16489  qredeq  16593  qredeu  16594  prmind2  16621  isprm5  16643  pythagtriplem19  16765  pcprendvds2  16773  pcpremul  16775  pcadd  16821  prmreclem1  16848  4sqlem19  16895  ablfac1lem  19937  pgpfac1lem3  19946  prmirredlem  21041  znrrg  21120  metnrmlem3  24376  lebnumlem3  24478  pcoass  24539  ipcau2  24750  4cphipval2  24758  minveclem3  24945  sca2rab  25028  ovolscalem1  25029  uniioombllem4  25102  uniioombl  25105  itg1mulc  25221  itg2const2  25258  dvrec  25471  dveflem  25495  lhop1  25530  vieta1  25824  elqaalem3  25833  abelthlem8  25950  tangtx  26014  tanregt0  26047  eff1olem  26056  eflogeq  26109  argregt0  26117  argrege0  26118  argimgt0  26119  cxpeq  26262  ang180lem5  26315  lawcoslem1  26317  isosctrlem2  26321  isosctrlem3  26322  heron  26340  dcubic1lem  26345  dcubic2  26346  dcubic1  26347  mcubic  26349  dquartlem1  26353  dquart  26355  quart1lem  26357  quart1  26358  quart  26363  atantayl2  26440  birthdaylem2  26454  ftalem5  26578  basellem3  26584  basellem4  26585  fsumdvdsdiaglem  26684  logexprlim  26725  mersenne  26727  perfectlem2  26730  perfect  26731  bposlem9  26792  lgsqrlem2  26847  lgseisenlem1  26875  lgseisenlem3  26877  lgsquadlem1  26880  lgsquad2lem1  26884  m1lgs  26888  2sqlem8  26926  rplogsumlem1  26984  dchrvmasumiflem2  27002  dchrisum0flblem2  27009  dchrisum0fno1  27011  dchrisum0lem1  27016  mulog2sumlem3  27036  selberglem2  27046  selberg3lem1  27057  selberg4lem1  27060  selberg3r  27069  selberg4r  27070  pntrlog2bndlem2  27078  pntlemg  27098  axsegconlem10  28181  axeuclidlem  28217  oddpwdc  33348  subfacval2  34173  circum  34654  faclimlem1  34708  nn0prpwlem  35202  knoppndvlem19  35401  areacirclem1  36571  areacirclem4  36574  cntotbnd  36659  lcmineqlem23  40911  aks6d1c2p2  40952  oddnumth  41209  sumcubes  41211  dffltz  41377  irrapxlem5  41554  pellexlem2  41558  jm2.22  41724  jm2.20nn  41726  sqrtcval  42382  nzss  43066  binomcxplemnotnn0  43105  oddfl  43977  xralrple3  44074  sumnnodd  44336  limclner  44357  stoweidlem62  44768  stirlinglem1  44780  dirkertrigeqlem2  44805  dirkertrigeqlem3  44806  fourierdlem66  44878  fourierdlem73  44885  fourierdlem87  44899  qndenserrnbllem  45000  hoiqssbllem2  45329  fmtnoprmfac2lem1  46224  sfprmdvdsmersenne  46261  dfeven4  46296  oddflALTV  46321  nn0onn0exALTV  46357  perfectALTVlem2  46380  perfectALTV  46381  nn0onn0ex  47199  affinecomb2  47379  line2ylem  47427  line2xlem  47429  itscnhlc0yqe  47435  itsclquadb  47452