Theorem divcan2d 11994

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11882	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117   / cdiv 11873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874

This theorem is referenced by:  nneo  12648  zeo2  12651  intfracq  13826  discr  14205  hashf1  14420  caurcvgr  15622  iseralt  15633  mertenslem1  15832  fprodle  15942  bpoly4  16005  tanadd  16112  divconjdvds  16260  mod2eq1n2dvds  16292  bitsmod  16379  mulgcd  16492  qredeq  16596  qredeu  16597  prmind2  16624  isprm5  16646  pythagtriplem19  16768  pcprendvds2  16776  pcpremul  16778  pcadd  16824  prmreclem1  16851  4sqlem19  16898  ablfac1lem  19940  pgpfac1lem3  19949  prmirredlem  21048  znrrg  21127  metnrmlem3  24384  lebnumlem3  24486  pcoass  24547  ipcau2  24758  4cphipval2  24766  minveclem3  24953  sca2rab  25036  ovolscalem1  25037  uniioombllem4  25110  uniioombl  25113  itg1mulc  25229  itg2const2  25266  dvrec  25479  dveflem  25503  lhop1  25538  vieta1  25832  elqaalem3  25841  abelthlem8  25958  tangtx  26022  tanregt0  26055  eff1olem  26064  eflogeq  26117  argregt0  26125  argrege0  26126  argimgt0  26127  cxpeq  26272  ang180lem5  26325  lawcoslem1  26327  isosctrlem2  26331  isosctrlem3  26332  heron  26350  dcubic1lem  26355  dcubic2  26356  dcubic1  26357  mcubic  26359  dquartlem1  26363  dquart  26365  quart1lem  26367  quart1  26368  quart  26373  atantayl2  26450  birthdaylem2  26464  ftalem5  26588  basellem3  26594  basellem4  26595  fsumdvdsdiaglem  26694  logexprlim  26735  mersenne  26737  perfectlem2  26740  perfect  26741  bposlem9  26802  lgsqrlem2  26857  lgseisenlem1  26885  lgseisenlem3  26887  lgsquadlem1  26890  lgsquad2lem1  26894  m1lgs  26898  2sqlem8  26936  rplogsumlem1  26994  dchrvmasumiflem2  27012  dchrisum0flblem2  27019  dchrisum0fno1  27021  dchrisum0lem1  27026  mulog2sumlem3  27046  selberglem2  27056  selberg3lem1  27067  selberg4lem1  27070  selberg3r  27079  selberg4r  27080  pntrlog2bndlem2  27088  pntlemg  27108  axsegconlem10  28222  axeuclidlem  28258  oddpwdc  33422  subfacval2  34247  circum  34728  faclimlem1  34782  nn0prpwlem  35293  knoppndvlem19  35492  areacirclem1  36662  areacirclem4  36665  cntotbnd  36750  lcmineqlem23  41002  aks6d1c2p2  41043  oddnumth  41291  sumcubes  41293  dffltz  41458  irrapxlem5  41646  pellexlem2  41650  jm2.22  41816  jm2.20nn  41818  sqrtcval  42474  nzss  43158  binomcxplemnotnn0  43197  oddfl  44066  xralrple3  44163  sumnnodd  44425  limclner  44446  stoweidlem62  44857  stirlinglem1  44869  dirkertrigeqlem2  44894  dirkertrigeqlem3  44895  fourierdlem66  44967  fourierdlem73  44974  fourierdlem87  44988  qndenserrnbllem  45089  hoiqssbllem2  45418  fmtnoprmfac2lem1  46313  sfprmdvdsmersenne  46350  dfeven4  46385  oddflALTV  46410  nn0onn0exALTV  46446  perfectALTVlem2  46469  perfectALTV  46470  nn0onn0ex  47287  affinecomb2  47467  line2ylem  47515  line2xlem  47517  itscnhlc0yqe  47523  itsclquadb  47540