Theorem divcan2d 11683

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  nneo  12334  zeo2  12337  intfracq  13507  discr  13883  hashf1  14099  caurcvgr  15313  iseralt  15324  mertenslem1  15524  fprodle  15634  bpoly4  15697  tanadd  15804  divconjdvds  15952  mod2eq1n2dvds  15984  bitsmod  16071  mulgcd  16184  qredeq  16290  qredeu  16291  prmind2  16318  isprm5  16340  pythagtriplem19  16462  pcprendvds2  16470  pcpremul  16472  pcadd  16518  prmreclem1  16545  4sqlem19  16592  ablfac1lem  19586  pgpfac1lem3  19595  prmirredlem  20606  znrrg  20685  metnrmlem3  23930  lebnumlem3  24032  pcoass  24093  ipcau2  24303  4cphipval2  24311  minveclem3  24498  sca2rab  24581  ovolscalem1  24582  uniioombllem4  24655  uniioombl  24658  itg1mulc  24774  itg2const2  24811  dvrec  25024  dveflem  25048  lhop1  25083  vieta1  25377  elqaalem3  25386  abelthlem8  25503  tangtx  25567  tanregt0  25600  eff1olem  25609  eflogeq  25662  argregt0  25670  argrege0  25671  argimgt0  25672  cxpeq  25815  ang180lem5  25868  lawcoslem1  25870  isosctrlem2  25874  isosctrlem3  25875  heron  25893  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  dcubic1  25900  mcubic  25902  dquartlem1  25906  dquart  25908  quart1lem  25910  quart1  25911  quart  25916  atantayl2  25993  birthdaylem2  26007  ftalem5  26131  basellem3  26137  basellem4  26138  fsumdvdsdiaglem  26237  logexprlim  26278  mersenne  26280  perfectlem2  26283  perfect  26284  bposlem9  26345  lgsqrlem2  26400  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem3  26430  lgsquadlem1  26433  lgsquad2lem1  26437  m1lgs  26441  2sqlem8  26479  rplogsumlem1  26537  dchrvmasumiflem2  26555  dchrisum0flblem2  26562  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0lem1  26569  mulog2sumlem3  26589  selberglem2  26599  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  selberg3r  26622  selberg4r  26623  pntrlog2bndlem2  26631  pntlemg  26651  axsegconlem10  27197  axeuclidlem  27233  oddpwdc  32221  subfacval2  33049  circum  33532  faclimlem1  33615  nn0prpwlem  34438  knoppndvlem19  34637  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  cntotbnd  35881  lcmineqlem23  39987  dffltz  40387  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  jm2.22  40733  jm2.20nn  40735  sqrtcval  41138  nzss  41824  binomcxplemnotnn0  41863  oddfl  42705  xralrple3  42803  sumnnodd  43061  limclner  43082  stoweidlem62  43493  stirlinglem1  43505  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  fourierdlem66  43603  fourierdlem73  43610  fourierdlem87  43624  qndenserrnbllem  43725  hoiqssbllem2  44051  fmtnoprmfac2lem1  44906  sfprmdvdsmersenne  44943  dfeven4  44978  oddflALTV  45003  nn0onn0exALTV  45039  perfectALTVlem2  45062  perfectALTV  45063  nn0onn0ex  45757  affinecomb2  45937  line2ylem  45985  line2xlem  45987  itscnhlc0yqe  45993  itsclquadb  46010