Theorem divcan2d 11610

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan2d	⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan2 11498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734   / cdiv 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490

This theorem is referenced by:  nneo  12261  zeo2  12264  intfracq  13432  discr  13807  hashf1  14023  caurcvgr  15237  iseralt  15248  mertenslem1  15448  fprodle  15558  bpoly4  15621  tanadd  15728  divconjdvds  15876  mod2eq1n2dvds  15908  bitsmod  15995  mulgcd  16108  qredeq  16214  qredeu  16215  prmind2  16242  isprm5  16264  pythagtriplem19  16386  pcprendvds2  16394  pcpremul  16396  pcadd  16442  prmreclem1  16469  4sqlem19  16516  ablfac1lem  19455  pgpfac1lem3  19464  prmirredlem  20459  znrrg  20530  metnrmlem3  23758  lebnumlem3  23860  pcoass  23921  ipcau2  24131  4cphipval2  24139  minveclem3  24326  sca2rab  24409  ovolscalem1  24410  uniioombllem4  24483  uniioombl  24486  itg1mulc  24602  itg2const2  24639  dvrec  24852  dveflem  24876  lhop1  24911  vieta1  25205  elqaalem3  25214  abelthlem8  25331  tangtx  25395  tanregt0  25428  eff1olem  25437  eflogeq  25490  argregt0  25498  argrege0  25499  argimgt0  25500  cxpeq  25643  ang180lem5  25696  lawcoslem1  25698  isosctrlem2  25702  isosctrlem3  25703  heron  25721  dcubic1lem  25726  dcubic2  25727  dcubic1  25728  mcubic  25730  dquartlem1  25734  dquart  25736  quart1lem  25738  quart1  25739  quart  25744  atantayl2  25821  birthdaylem2  25835  ftalem5  25959  basellem3  25965  basellem4  25966  fsumdvdsdiaglem  26065  logexprlim  26106  mersenne  26108  perfectlem2  26111  perfect  26112  bposlem9  26173  lgsqrlem2  26228  lgseisenlem1  26256  lgseisenlem3  26258  lgsquadlem1  26261  lgsquad2lem1  26265  m1lgs  26269  2sqlem8  26307  rplogsumlem1  26365  dchrvmasumiflem2  26383  dchrisum0flblem2  26390  dchrisum0fno1  26392  dchrisum0lem1  26397  mulog2sumlem3  26417  selberglem2  26427  selberg3lem1  26438  selberg4lem1  26441  selberg3r  26450  selberg4r  26451  pntrlog2bndlem2  26459  pntlemg  26479  axsegconlem10  27017  axeuclidlem  27053  oddpwdc  32033  subfacval2  32862  circum  33345  faclimlem1  33427  nn0prpwlem  34248  knoppndvlem19  34447  areacirclem1  35602  areacirclem4  35605  cntotbnd  35691  lcmineqlem23  39793  dffltz  40174  irrapxlem5  40351  pellexlem2  40355  jm2.22  40520  jm2.20nn  40522  sqrtcval  40925  nzss  41608  binomcxplemnotnn0  41647  oddfl  42488  xralrple3  42586  sumnnodd  42846  limclner  42867  stoweidlem62  43278  stirlinglem1  43290  dirkertrigeqlem2  43315  dirkertrigeqlem3  43316  fourierdlem66  43388  fourierdlem73  43395  fourierdlem87  43409  qndenserrnbllem  43510  hoiqssbllem2  43836  fmtnoprmfac2lem1  44691  sfprmdvdsmersenne  44728  dfeven4  44763  oddflALTV  44788  nn0onn0exALTV  44824  perfectALTVlem2  44847  perfectALTV  44848  nn0onn0ex  45542  affinecomb2  45722  line2ylem  45770  line2xlem  45772  itscnhlc0yqe  45778  itsclquadb  45795