Theorem zsubscld 28459

Description: The surreal integers are closed under subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsubscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤs)
zsubscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤs)

Assertion

Ref	Expression
zsubscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ ℤs)

Proof of Theorem zsubscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubscld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤs)
2	1	znod 28446	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		zsubscld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤs)
4	3	znod 28446	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	2, 4	subsvald 28124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) = (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)))
6	3	znegscld 28456	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ ℤs)
7	1, 6	zaddscld 28458	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s ( -us ‘𝐵)) ∈ ℤs)
8	5, 7	eqeltrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ ℤs)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   +_s cadds 28022   -u_s cnegs 28082   -_s csubs 28083  ℤ_sczs 28441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-nadd 8624  df-no 27677  df-lts 27678  df-bday 27679  df-les 27779  df-slts 27821  df-cuts 27823  df-0s 27870  df-1s 27871  df-made 27890  df-old 27891  df-left 27893  df-right 27894  df-norec 28001  df-norec2 28012  df-adds 28023  df-negs 28084  df-subs 28085  df-n0s 28377  df-nns 28378  df-zs 28442

This theorem is referenced by:  zn0subs  28466  peano5uzs  28467  zseo  28485